k-freie Polynomwerte und Anzahl der Teiler von Polynomwerte

Dies Projekt beschäftigt sich mit zwei klassischen Problemen der analytischen Zahlentheorie. Das erste Problem behandelt die Anzahl der potenzfreien Werte von Polynomen in zwei Variablen, insbesondere auch, wenn die Variablen selber nur Primzahlwerte annehmen. In vielen Algorithmen der modernen Kryptographie benötigt man quadratfreie Werte. Im zweiten Problem studieren wir die durchschnittliche Anzahl der Teiler von Polynomen. Bisher hat man nur für lineare und quadratische Polynome Ergebnisse, die den vermuteten Ergebnissen entsprechen. Teilerprobleme dieser Art haben einen wichtigen Beitrag z.B. bei dem aktuellen wichtigen Resultat zu endlichen Primzahllücken geliefert. Zu dem ersten Problemkreis haben wir in einer früheren Arbeit bei einem speziellen Polynom in zwei Variablen zeigen können, dass die Polynomwerte bei primen Argumenten unendlich oft k-frei sind. Dies ist bis heute das einzige Beispiel in der Literatur. Wir beabsichtigen den allgemeinen Fall zu behandeln. Bei diesem Themenkreis benötigen wir verschiedene Methoden der analytischen Zahlentheorie, insbesondere z.B. Ergebnisse von Baier und Browning über die Anzahl von Kongruenzlösungen bzw. Lösungen diophantischer Gleichungen in einem beschränkten Gebiet. In einem ersten Schritt zu dem zweiten Problemkreis wollen wir explizite Schranken an die Summe der Teilerfunktion angeben, für zerlegbare quadratische Polynome. Für Polynome höheren Grades ist nicht viel bekannt. Aber wir werden uns an spezielle Polynome höheren Grades heranwagen. Die Methoden basieren z.B. auf Methoden von Hooley, Browning und Heath-Brown.

Das Projekt "k-freie Polynomwerte und Anzahl der Teiler von Polynomwerten" konzentrierte sich auf einige klassische Probleme der analytischen Zahlentheorie bezüglich der Eigenschaften von Polynomen mit ganzzahligen Argumenten. Das erste Problem behandelt die Anzahl der potenzfreien Werte von Polynomen in mehreren Variablen, insbesondere auch, wenn die Variablen selber nur Primzahlwerte annehmen. Dieses Thema ist zum Beispiel besonders wichtig bei quadratfreien Werten von Polynomen, die Anwendungen in der Kryptographie und der digitalen Sicherheit haben könnten. Das andere Hauptthema dieses Projekts ist das Problem für die durchschnittliche Anzahl der Teiler von Polynomen, für die es vermutete Wachstumsgrößen gibt, aber bisher wurde keine dieser Vermutungen für Polynome mit einem höheren Grad als zwei vollständig bestätigt. Wir waren besonders daran interessiert, obere Schranken mit expliziten Konstanten für solche Summen über quadratischen Polynomen bereitzustellen, die Anwendungen in der klassischen Diophantischen Zahlentheorie haben. Gleichzeitig hat das Teilerproblem auch moderne Implikationen, einschließlich des Durchbruchproblems für endliche Primzahllücken. Das Ergebnis des Projekts umfasst mehrere Veröffentlichungen, die Teilnahme und Präsentationen auf internationalen Konferenzen, die Durchführung von Besuchen erstklassiger Mathematiker und die Initiierung fruchtbarer Kooperationen. Die mit diesem Projekt formulierten Forschungsziele wurden weitgehend erreicht und einige zusätzliche Fragen wurden berücksichtigt. Dennoch gibt es weitere Vermutungen, deren Beweise für den gegenwärtigen Stand der Technik auf diesem Gebiet der Zahlentheorie unerreichbar bleiben. Deshalb glauben wir, dass dieser Forschungsbereich auch weiterhin attraktiv für die Weiterentwicklung bleiben wird.