Mehrskalenasymptotik und Analysis für atmosphärische Modelle mit Feuchtigkeit

Latente Wärme entstehend durch Phasenumwandlungen von Wasser in der Atmosphäre beeinflusst die Energiebilanz beträchtlich. Von besonderem Interesse sind hierbei hochreichende Cumulonimbuswolken, sogenannte Hot Towers, mit geringem Durchmesser von unter einem Kilometer. Allgemein wird davon ausgegangen, dass diese Wolkentürme zu einem großen Teil für den vertikalen Transport von Wärme in die obere Troposphäre innerhalb der intertropischen Konvergenzzone verantwortlich sind. Ein gutes Verständnis der Lebenszyklen dieser Phänomene ist daher besonders wichtig. Ein Ziel dieses Projektes ist deshalb die Erweiterung des Mehrskalenmodells von Klein und Majda durch Einführen von Schichten in vertikaler Richtung, welchedie verschiedenen Größenordnungen des Sättigungsmischungsverhältnisses als Schlüsselgröße in den Phasenumwandlungstermen berücksichtigen, und darüber hinaus noch die Skalierungsannahmen verbessern. Diese verfeinerte Modellierung verwenden wir anschließend auch, um die Modulation von internen Schwerewellen durch Hot Towers im Detail zu analysieren. Nachdem Feuchtigkeit den Vertikaltransport von Energie durch interne Schwerewellen reduziert, könnte eine fundierte theoretische Basis auch wesentlich zur Verbesserung der Parametrisierung dieses Effekts für globale Zirkulationsmodelle beitragen. Während sich der erste Teil des Projekts mit formaler Asymptotik für atmosphärische Strömungsmodelle mit Feuchtigkeit beschäftigt, ist es ein weiteres Ziel, auch die rigorose Analysis voranzutreiben. Ein erster Schritt in diese Richtung erfolgt durch globale Existenz- und Eindeutigkeitsanalysen für die Bilanzgleichungen der Feuchtigkeitsgrößen, welche die Basis für obige Asymptotik bilden. Es ist geplant, die kürzlich bewiesenen Resultate von Coti Zelati et al. für die Dynamik von Temperatur und einer einzelnen Feuchtigkeitsgröße basierend auf sehr komplexen Methoden für partielle Differentialgleichungen auf das physikalisch aufwendigere Modell für Wasserdampf, Wolkenwasser und Regenwasser zu erweitern. Diese Bilanzgleichungen werden anschließend mit den Strömungsgleichungen gekoppelt, welche sich aus den vollen kompressiblen Gleichungen unter der Annahme des hydrostatischen Gleichgewichts ergeben. Diese Gleichungen erwiesen sich allgemein als sehr gute Näherung und bilden daher die Basis für Wettervorhersage- und Klimamodelle. Eine rigorose Analysis für dieses Gleichungssystem ist daher nicht nur aus mathematischer Sicht von besonderem Interesse.

Atmosphärische Strömungen sind äußerst komplex und daher hat die Herleitung reduzierter Modelle mittels Skalenanalyse eine lange Geschichte in der Meteorologie. Es existiert eine große Vielfalt an unterschiedlichen Skalen, welche für die Dynamik der Atmosphäre relevant sind, wie z.B. mikroskalige Strömungen über mehr oder weniger raue Oberflächen, oder Wolken mit typischen Durchmessern von einigen Kilometern, sowie die Fronten auf der größeren synoptischen Skala bekannt von Wetterkarten in Vorhersagen. Für jede ausgewählte Skala, abhängig vom zu beschreibenden Phänomen, erhält man mittels Skalenanalyse ein unterschiedliches Modell resultierend aus den führenden Kräftegleichgewichten. Eine große Herausforderung bildet dabei die Modellierung von Niederschlag, welcher immer noch eine der größten Unsicherheiten in Wettervorhersage- und Klimamodellen darstellt. Von besonderem Interesse sind sogenannte Hot Towers. Dabei handelt es sich um hohe Wolkentürme mit kleiner horizontaler Ausdehnung, welche starke Aufwinde in deren Zentren aufweisen und zu hohen Niederschlagsmengen führen. Darüber hinaus bilden diese Wolkentürme die Grundbausteine für größerskalige konvektive Stürme, wie z.B. Squall Lines mit einer Formation von Gewitterwolken entlang einer Linie, oder Hurricanes auf der noch größeren Skala. Eine Schlüsseltechnik zur Analyse von solchen komplexen Wolkenphänomenen mit Wechselwirkungen von Prozessen auf unterschiedlichen Längen- und Zeitskalen ist die Mehrskalenasymptotik. In Zusammenarbeit mit R. Klein haben wir im Vergleich zu existierenden Arbeiten in diesem Projekt nicht nur Feuchtigkeit in die asymptotische Modellierung mittels Bilanzgleichungen für Wasserdampf, Wolkenwasser und Regen miteinbezogen, sondern auch die Thermodynamik präzisiert indem wir die unterschiedlichen Gaskonstanten und Wärmekapazitäten für trockene Luft und Wasserkomponenten berücksichtigen. Darauf basierend konnte gezeigt werden, dass für Wolkentürme diese in der Literatur oft vernachlässigte thermodynamische Verfeinerung in der Modellierung essentiell ist, indem sie sogar zu anderen Kräftegleichgewichten führt. Dies bildet weiters die Basis für das Analysieren von organisierter Konvektion, wie sie im Kern von Sturmsystemen auftritt. Systematische Mittelungsverfahren im Rahmen der Mehrskalenasymptotik ermöglichen die Veränderung der größerskaligen Strömung durch die Wolkenprozesse auszudrücken. Studien dieser Art könnten für die Weiterentwicklung der Parameterisierungen von Wolkenprozessen in Vorhersagemodellen mit einer gröberen Auflösung als die typischen Wolkendurchmesser von Bedeutung sein. Ein weiteres Ziel dieses Projekts war die rigorose Analysis von Strömungsmodellen für Wolkendynamik, welche die Basis für Wettervorhersagemodelle bilden. In Zusammenarbeit mit R. Klein, J. Li und E. Titi wurden sowohl die Existenz von Lösungen also auch deren Eindeutigkeit bewiesen. Theoretische Studien dieser Art liefern wichtige Argumente für die Validität der in Anwendungen zugrunde liegenden Modelle. Die Ergebnisse dieses Projekts ebnen den Weg für viele weitere Studien zur Wolkendynamik, wie z.B. die Herleitung von Mehrskalen-Modelle für Sturmsysteme wie Squall Lines oder Hurricanes sowie deren rigoroser Analysis.