Selbstähnlicher Blow-up in nichtlinearen Evolutionsgleichungen

Die Beschreibung zeitabhängiger Prozesse durch Evolutionsgleichungen, d.h. zeitabhängige partielle Differentialgleichungen (PDEs), spielt in vielen Bereichen eine wichtige Rolle: von Naturwissen- schaften über Ökonomie bis hin zur Untersuchung mathematischer Fragestellungen selbst. Ein wichtiges Merkmal nichtlinearer Evolutionsgleichungen ist das Auftreten von Lösungen, die trotz glatter Anfangsdaten in endlicher Zeit Singularitäten ausbilden. In einem solchen Szenario, das auch als `Blow-up` bezeichnet wird, dominieren selbstverstärkende Prozesse über Glättungsmechanismen wie Diffusion oder Dispersion. In Folge divergiert typischerweise die Amplitude der Lösung bzw. der Gradient und es bilden sich Unstetigkeiten aus. Ist eine Gleichung invariant unter Skalierung, können selbstähnliche (skalierungsinvariante) Lösungen Beispiele für singuläres Verhalten liefern, wobei die untersuchte Modelle oft unendlich viele solcher Lösungen besitzen. Neben speziellen Blow-up Lösungen und Kriterien an die Anfangsdaten, die die Entstehung einer Singularität implizieren, sind mathematisch insbesondere die Charakteristika generischer Blow-up Lösungen interessant. Dies beinhaltet beispielsweise Informationen über die Blow-up Rate oder die asymptotische Form allgemeiner Lösungen. In numerischen Experimenten wurde dies für PDEs unterschiedlichen Typs - von dispersiven Gleichungen über parabolische PDEs zweiter und höherer Ordnung bis hin zu komplizierteren gekoppelten Systemen untersucht und selbstähnliches Verhalten in der Nähe des Blow-up Punktes festgestellt. Insbesondere beobachtete man in vielen Fällen die asymptotische Konvergenz allgemeiner singulärer Lösungen hin zu einem speziellen selbstähnlichen Profil, das auch als Grundzustand bezeichnet wird. Diese numerischen Befunde legen die Vermutung nahe, dass der jeweilige selbstähnliche Grundzustand einen stabilen Blow-up Mechansimus für die betrachteten Gleichungen darstellt und somit das Verhalten großer Klassen von Lösungen beschreibt. Das Ziel des vorliegenden Projekts ist es, dies mit funktionalanytischen Methoden zu untersuchen. Der erste Teil behandelt Wellengleichungen mit fokussiernder Nichtlinearität, wobei insbesondere bestehende Resultate über die Stabilität der sogenannten ODE Blow-up Lösung verbessert und erweitert werden sollen. Die dabei verwendeten Beweismethoden werden im zweiten Teil des Projekts auf nicht- hyperbolische Probleme verallgemeinert. Untersucht werden hier die Wärmeflüsse für Yang Mills Zusammenhänge und harmonische Abbildungen in bestimmten geometrischen Settings, sowie das parabolisch-elliptische Keller Segel Modell. Die hier behandelten Gleichungen zählen zur Klasse sogenannter superkritischer PDEs. Solche Modelle sind aktuell Gegenstand intensiver Forschungen. Ein Ziel dieses Projekt ist es daher wesentlich zum mathematischen Verständnis stabiler Blow-up Mechanismen für superkritische Gleichungen beizutragen. Die im Laufe des Projekts entwickelten Methoden sollen darüberhinaus die Untersuchung von Problemen ermöglichen, für die zum heutigen Zeitpunkt keine geeigneten analytischen Techniken bekannt sind.

Ziel dieses Projekts war die Untersuchung der Dynamik singulärer Lösungen in nichtlinearen zeitabhängigen partiellen Differentialgleichungen. Die dabei entwickelten Methoden zur Analyse der Stabilitätseigenschaften von selbstähnlichen Blowup Lösungen in Wellengleichungen und parabolischen Modellen eröffnen neue Möglichkeiten und Perspektiven in der Erforschung von singulärem Verhalten in superkritischen Evolutionsgleichungen. Zu Beginn des Projekts wurden bestehende Resultate für die Wellengleichung mit fokussierender Nichtlinearität erweitert. Insbesondere wurde die nichtlineare asymptotische Stabilität einer trivialen selbstähnlichen Lösung, der sogenannten ODE Blowup Lösung, in ungeraden Dimensionen für radial symmetrische Störungen gezeigt. Im drei- dimensionalen Fall konnte die Stabilität auch ohne Symmetrieannahmen bewiesen wer- den. Diese Resultate gelten lokal, d.h. im Rückwärtslichtkegel des Blowup Punktes. Die Existenz und Stabilität von globalen selbstähnlichen Blowup Lösungen wurde für ein anderes Modell, sogenannte Wave Maps untersucht. Für Wave Maps vom Minkowski-Raum in die 3-Sphäre konnte eine explizite Lösung der Evolutionsgleichung gefunden werden, deren Gradient zur Blowup Zeit im Ursprung divergiert, die jedoch vor und nach dem Blowup überall glatt ist. Mit Hilfe neuer, adaptierter Koordinaten konnte die Stabilität dieser Lösung auf dem ganzen Raum bewiesen werden. Darüber hinaus erlauben diese Koordinaten auch Aussagen über die Zeitevolution nach dem Blowup in einem Gebiet der Raum-Zeit, das aufgrund der endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit im Modell nicht durch die Singularität beeinflusst wird.Ein weiteres wesentliches Ziel des Projekts war die Verallgemeinerung der Methoden auf nicht-hyperbolische Evolutionsgleichungen. Insbesondere wurden dafür zwei Modelle untersucht: Der Wärmefluss für harmonische Abbildungen vom R3 in the 3?Sphäre, sowie der Yang-Mills Wärmefluss. Unter gewissen Symmetrieannahmen reduzieren sich beide Modelle auf semilineare Wärmeleitungsgleichungen. Durch Adaption der für Wellengleichungen entwickelten Techniken auf parabolische Probleme konnte in beiden Modellen stabiler selbstähnlicher Blowup bewiesen werden.