Nichtlineare Schrödinger Gleichung: Simulation u. Anwendung

Ein großer Durchbruch in der Physik der ultrakalten Atome wurde 1995 mit der ersten Realisierung eines Bose- Einstein Kondensats erzielt, das ursprüglich von Bose und dann von Einstein vorausgesagt wurde. Bei Temperaturen tiefer als die Kondensationstemperatur wird die Dynamik des Bose-Einstein Kondensats von einer nichtlinearen Schrödinger Gleichung mit kubischer Nichtlinearität und harmonischem Potential beschrieben. Diese Gleichung ist auch das Kernthema des vorliegenden Projektes. In dem Projekt gibt es vier Hauptthemen. Im ersten Teil des Projekts widmen wir uns numerischen Simulationen der Nichtlinearen Schrödinger Gleichung mit variierendem Koeffizient der Nichtlinearität. Wir sind hier besonders an der adiabatischen Approximation und an Experimenten mit oszillierendem Koeffizient der Nichtlinearität, für die wir Resonanzen erwarten, interessiert. Wir möchten anschließend die erhaltenen numerischen Resultate mit physikalischen Ergebnissen vergleichen, die von der Forschergruppe von R. Grimm (Innsbruck, Austria) an Bose- Einstein Kondensaten mit variierender Streulänge erzielt werden. Im darauffolgenden Teil beschäftigen wir uns mit einem System von zwei gekoppelten nichtlinearen Schrödinger Gleichungen. Wir möchten zuerst numerisch den Fall untersuchen, in dem eine Lösungskomponente in endlicher Zeit explodiert ("blow-up"). Zweitens möchten wir den Fall eines stark anisotropen harmonischen Potentials ermitteln, was uns zum Problem der Dimensionsreduktion führen wird. Folglich werden wir rigoros die Gültigkeit eines nichtlinearen Systems von Schrödinger Gleichungen beweisen, das wir als Grenzwert in der Dimensionsreduktion des gekoppelten Systems erhalten. Drittens möchten wir das Grundzustandsproblem des gekoppelten Systems mit einem zusätzlichen Term analytisch und numerisch betrachten. Schließlich beabsichtigen wir die vorher genannten Punkte auch für Systeme mit mehr als zwei nichtlinearen Schrödinger Gleichungen zu analysieren. Im nächsten Teil beschäftigen wir uns mit der nichtlinearen Schrödinger Gleichung mit einem harmonischen und einem periodischen Potential. Der erste Punkt in diesem Teil ist die numerische Simulation der Gleichung, für die die Stärke des periodischen Potentials erhöht wird. Anschließend möchten wir die semi-klassiche Approximation der nichtlinearen Schrödinger Gleichung mit periodischem Potential analysieren. Wir möchten dann numerische Simulationen in Zusammenarbeit mit den Physikern in Innsbruck durchführen, die gleichzeiting Experimente an Bose-Einstein Kondensaten in optischen Gittern ausführen. Schließlich betrachten wir eine integro-differentiale nichtlineare Schrödinger Gleichung, die bei Bose-Einstein Kondensaten in einer Dipol Konfiguration auftritt. Mathematisch gibt es viele offene Punkte z. B. die Wohldefiniertheit. Außerdem möchten wir analytisch und numerisch die verschiedenen Parameterbereiche untersuchen.

Im Projekt Nichtlineare Schrödinger Gleichung: Anwendung und Simulation wurde die Schrödinger Gleichung untersucht, die unter anderem Bose-Einstein Kondensate modelliert und des weiteren, durch eine Abwandlung, solitäre Wellen beschreibt. Ein Bose-Einstein Kondensat ist ein Aggregatzustand, der bei sehr niedrigen Temperaturen von einigen Nanokelvin auftritt. Die Haupteigenschaft solcher Kondensate ist, dass sich alle Teilchen im selben Quantumzustand befinden und voneinander nicht unterschieden werden können. Die wissenschaftliche Forschung setzt sich intensiv mit den unterschiedlichen Eigenschaften von Bose-Einstein Kondensaten theoretisch und experimentell auseinander. Im ersten Teil des Projekts beschäftigten wir uns mit einem System von zwei nichtlinearen Schrödinger Gleichungen, das ein Rubidium Bose-Einstein Kondensat in zwei verschiedenen Zuständen bei tiefen Temperaturen nach der Kondensation beschreibt. Wir analysierten unter welchen Bedingungen globale Lösungen existieren oder ein Blow-up des Systems eintritt.Des weiteren setzten wir uns mit einem Exciton-Polariton Bose-Einstein Kondensat auseinander, das ebenso durch eine nichtlineare Schrödinger Gleichung mit zusätzlichen Termen modelliert wird. Dieses Kondensat wird bei viel höheren Temperaturen als einige Nanokelvin produziert. Der Nachteil dieses Kondensats ist die hohe Instabilität. Um die Lebensdauer zu verlängern, werden ununterbrochen gekühlte Teilchen in das Kondensat hinzugefügt. Dieser Prozess wird durch zusätzliche Dämpfungs- und Quellenterme in der Gleichung beschrieben. Um den Effekt dieser zusätzlichen Terme zu verstehen, wurden im Rahmen des Projektes numerische Experimente durchgeführt.Im Projekt wurde in Zusammenarbeit mit Physikern an numerischen Simulationen gearbeitet. Die Ergebnisse flossen direkt in die experimentelle Arbeit ein und führten zur Optimierung der physikalischen Experimente mit eindimensionalen Bose-Einstein Kondensaten.In einer weiteren Projektphase arbeiteten wir mit solitären Wellen. Solitäre Wellen entstehen aus einem dispersiven, auseinanderlaufenden, und einem nichtlinearen Effekt, wobei sich diese beiden Effekte gegenseitig aufheben. Die solitären Wellen pflanzen sich ohne Änderung ihrer Form fort. In der Schrödinger Gleichung hat der lineare Teil einen dispersiven Effekt und der nichtlineare Teil der Gleichung führt zur Konzentration. Wir untersuchten ein System von Schrödinger Gleichungen dessen Anfangsdaten zwei skalare solitäre Wellen waren und beobachteten das Langzeitverhalten des Systems. In all den untersuchten Bereichen des Projektes waren numerische Simulationen wesentlich, um einerseits theoretische Ergebnisse zu überprüfen und um andererseits neue Aspekte zu verstehen, für die keine theoretischen Arbeiten existieren.