Stochastische PDEs und Renormierung

Differentialgleichungen beschreiben sehr häufig Systeme, die sich zeitlich verändern, man denke beispielsweise an die Bewegung von Planeten. Zu jedem Zeitpunkt kann der Zustand des Systems durch einige wenige Zahlen (z.B räumlichen Koordinaten des Orts oder der Geschwindigkeit) beschrieben werden. Partielle Differentialgleichungen (PDEs) sind komplexer und benötigen unendlich viele Zahlen, um sie zu beschreiben: Um z. B. die Veränderungen von Wellen in einem Teich zu beschreiben, müssen wir zu jedem Zeitpunkt die Höhe des Wassers in jeder Position gleichzeitig angeben. Geht man noch einen Schritt weiter und bezieht auch den Zufall mit ein, dann hat man es mit stochastischen PDEs zu tun. Sie können auf eine Vielzahl von Modellen der mathematischen Physik angewendet werden. Die Unvorhersehbarkeit des Wachstums der komplexen Schnittstellen (man denke an den Rand eines wachsenden Kaffeeflecks oder eines Waldbrandes) oder in der Bewegung Polymere kann durch stochastischen PDEs beschrieben werden. Um Zufälligkeiten in der Welt der Differentialgleichungen berücksichtigen zu können, muss man ganz neue mathematische Werkzeuge entwickeln. So kann es etwa passieren, dass bestimmte Terme dieser Differentialgleichungen unendlich groß werden. Herkömmliche mathematische Methoden versagen in dieser Situation. Es gibt allerdings sogenannte Renormierungsverfahren, mit denen man auch in diesem Fall noch zuverlässige Ergebnisse ermitteln kann. Unser Projekt wird neue Perspektiven auf die mathematischen Grundlagen stochastischer PDEs bringen. Mit neuartigen mathematischen Techniken werden wir grundlegende Fragen zu solchen Gleichungen beantworten: Wann gibt es Lösungen? Wie sehen sie aus? Wie kann man sie simulieren? Wie werden die Unendlichkeiten sowohl in der Theorie als auch in der Berechnung gezähmt? Diese Ergebnisse werden neues Licht sowohl auf die Mathematik stochastischer PDEs als auch auf die zugrunde liegenden physikalischen Modelle werfen.