Frames und Punktverteilungen in der Zeit-Frequenz-Analyse

Dieses Projekt befindet sich an der Schnittstelle zwischen reiner und angewandter Mathematik, im Bereich der angewandten harmonischen Analyse, deren Beziehung zu benachbarten Wissenschaften der der Zellmembran ähnelt, und die in einer permanenten osmotischen Beziehung zu anderen Bereichen der Mathematik und Naturwissenschaften im Allgemeinen, einschließlich der Signalanalyse, Akustik, Datenwissenschaft, Quantenphysik, Informationstheorie und Kommunikationswissenschaften, steht. Ein wiederkehrendes Thema der vorgeschlagenen Forschung wird die gründliche mathematische Untersuchung von Heuristiken, numerischen Experimenten und Methoden unter Verwendung von Punktmengenverteilungen sein, die sich auf der angewandten Seite der Zeit-Frequenz und Zeit-skalen Analyse als nützlich erwiesen haben. Diese Studie wird in einem ersten Schritt zu theoretischen mathematischen Arbeiten führen und die experimentell beobachteten Phänomene in Theoreme umwandeln. In einer zweiten Phase soll dieses verbesserte Verständnis der bestehenden Mathodologie zur Entwicklung neuer und zur Verbesserung bestehender Methoden führen. Diese Punktverteilungen können deterministisch sein, wie bei klassischen Frames und Sampling, und zufällig, wie bei Random Sampling und Compressive Sensing. Wir werden zunächst Methoden untersuchen, die Punktverteilungen auf der euklidischen Ebene R verwenden. Eine wichtige Hypothese, die wir mathematisch fundieren wollen, ist, dass die gute Verteilung einer endlichen Anzahl von Punkten, die durch abstoßende Prozesse (genauer: determinante Punktprozesse) innerhalb einer begrenzten Region verteilt werden, wahrscheinlich das Konditionierungsprofil von verbessert Probenahme- und Wiederherstellungsmethoden der Zufallsstichprobe. Ein weiteres Untersuchungsobjekt werden Gaußsche analytische Funktionen (GAFs) sein, deren Nullstellen mit den Nullstellen von Spektrogrammen und Skalogrammen mit weißem Rauschen mit durch Analitizität induzierten Fenstern übereinstimmen (Gaussian für STFT, Klauder/Cauchy für Wavelets). Aber die Projektziele gehen über die von GAF hinaus. Tatsächlich sind für die Analyse hochauflösender Zeit-Frequenz-Methoden Mittelwerte von Spektrogrammen mit Hermite-Fenstern wie Bayran-Baraniuk Wigner-Ville-Spektralschätzer, Xiao- Flandrin-Multitaper-Reassignment und Daubechies-Wang-Wu, ConceFT, da die Nullstellen von Spektrogrammen mit Hermite-Fenstern, die mit den Nullstellen eines GAF übereinstimmen, das auf höhere Landau-Niveaus angehoben wurde, wo die Funktionen nicht mehr analytisch sind. Dies führt natürlich zu Gaußschen polyanalytischen Funktionen, deren Analyse gerade aufgrund ihrer Nichtanalitizität erhebliche Herausforderungen mit sich bringt.