Zu einer einheitlichen Theorie der Partitionskongruenzen

Das Themengebiet meiner Forschung ist Zahlentheorie, welche sich mit dem Studium positiver Ganzzahlen und ihrer Eigenschaften beschäftigt. Die meisten Fragen zu diesem Thema sind leicht zu verstehen. Wenn Sie wissen, was positive ganze Zahlen sind und wie man addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert, dann können Sie die motivierenden Fragen wahrscheinlich verstehen. Diese Fragen sehen oft hübsch und skurril aus. Allerdings sind sie sehr oft sehr schwer zu beweisen, greifen auf verschiedene fortgeschrittene mathematische Methoden zurück und resultieren in erstaunlichen und äußerst wichtigen Anwendungen. Die meisten elektronischen Sicherheitssysteme basieren auf Verschlüsselung und Kryptografie, die stark vom Verständnis der Primzahlentheorie abhängen. Noch überraschender ist, dass die mathematischen Grundlagen einiger unserer fortgeschrittensten Fächer in der Physik wie Quantenfeldtheorie und Stringtheorie auf sehr fundierten Kenntnissen der Zahlentheorie beruhen. Meine Arbeit in der Zahlentheorie umfasst das Studium von Partitionen. Eine Partition ist eine Darstellung einer ganzen Zahl als Summe anderer ganzer Zahlen. Zum Beispiel: 4 hat insgesamt 5 Partitionen: 4 alleine, 3+1, 2+2, 2+1+1, und 1+1+1+1. Beachten Sie, dass uns dabei die Reihenfolge egal ist: wir unterscheiden nicht zwischen 3+1 und 1+3. Die Zahl 1 hat 1 Partition: 1. Die Zahl 2 hat 2 Partitionen (2, 1+1). Die Zahl 3 hat 3 Partitionen (3, 2+1, 1+1+1), 4 hat 5 Partitionen, 5 hat 7 Partitionen (5, 4+1, 3+2, 3+1+1, 2+2+1, 2+1+1+1, 1+1+1+1+1). Wenn wir die Anzahl der Partitionen der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20,..., auflisten, dann erhalten wir Folgendes: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, Wenn Sie kein Muster erkennen, machen Sie sich keine Sorgen! Es sieht zufällig aus und viele brillante Mathematiker glaubten in der Vergangenheit, dass es Zufall sei. Vor etwa hundert Jahren, im Jahr 1918, entdeckte der indische Mathematiker Ramanujan einige schöne und einfache Eigenschaften. Sehen Sie sich beispielsweise die Anzahl der Partitionen für Zahlen an, deren letzte Ziffer eine 4 oder 9 ist. Diese Sequenz beginnt wie folgt: 5, 30, 135, 490, Ja! Jede der Zahlen ist durch 5 teilbar - wir nennen dies eine Kongruenzeigenschaft. Ramanujan fand und bewies viele ähnliche aber schwierigere Kongruenzeigenschaften im Zusammenhang mit 5, 7, 11 und anderen Primzahlen. Wir haben seine Methoden an eine Vielzahl anderer Zahlenfolgen im Zusammenhang mit Partitionen angewandt. Manchmal funktionieren seine Methoden gut, manchmal ist dies aber nicht der Fall. Selbst nach hundert Jahren verstehen wir diese Kongruenzeigenschaften nicht vollständig. Das Ziel meines Projekts ist die Entwicklung neuer Methoden zum Nachweis von Kongruenzeigenschaften. Diese Methoden finden Anwendung auf schwierige Probleme der Physik, insbesondere der Stringtheorie.