Klassifikation über Prädikat: Non-structure durch Forcing

Classification theory wurde in den 1980er Jahren von Shelah entwickelt. Ein zentrales Motiv ist die Suche nach Trennlinien, die Theorien (d.h., Axiomensysteme) in charakterisierbare und chaotische teilen. Ein klassisches Beispiel ist Shelahs Main Gap Theorem: Wir betrachten die Modelle einer gegebenen (anzählbaren) Theorie. Dann gibt es nur zwei Möglichkeiten: Möglichkeit 1 (Non-Structure): Es gibt in jeder überabzählbaren Kardinalzahl die maximal mögliche Anzahl an paarweise nichtisomorphen Modellen. Möglichkeit 2 (Structure): Jedes Modell kann durch eine kleine Anzahl von Ivarianten beschrieben werden. (Für Vektorräume über einen gegebenen Körper wäre das zB die Dimension.) Zum Beweis dieses Theorems muss man die richtige Trennlinie (Eigenschaften von Theorien) finden, die die Theorien in die guten (Structure) und schlechten (Non-Structure) trennt. Es gibt viele Vermutungen für Main-Gap-artige Phänomene in anderen Kontexten, aber keine konnten bislang vollständig bewiesen werden. In diesem Projekt untersuchen wir den folgenden Kontext: Modelle von abzählbaren Theorien über ein fixes Prädikat P. D.h., die Theorie T besteht aus abzählbar vielen Axiomen, die ein Prädikat P verwenden (dadurch wird eine Teilmenge jedes Modells ausgezeichnet); und wir betrachten, welche (bzw wieviele) T Modelle es mit einem fixen P Teil gibt. Ein prototypisches Beispiel: T ist die Theorie der Vektorräume über einem Körper, wobei P den Körper bezeichnet und das restliche Modell ohne P den Vektorraum darstellt. Ein interessanteres, aber weniger gut verstandenes Beispiel sind die exponentiell geschlossenen Körper, wobei P den Kern der Exponentiation bezeichnet. Auf den ersten Blick könnte man vermuten, dass Modelltheorie im P-Kontext ziemlich ähnlich wie für im klassischen funktioniert. Aber die Erfahrung zeigt, dass hier Phänomene auftreten, die es im klassischen Setting nicht gibt. Für ein Main-Gap artiges Resultat wären hier sicherlich deutlich kompliziertere Methoden nötig. Das Hauptziel des Projekts ist es, unser Verständnis der Non-Structure Seite des P- Kontexts voranzubringen. Insbesondere werden wir versuchen, mit mengentheoretischen Methoden (vor allem Forcing) folgendes zu beweisen: Klassen, die kompliziertes kombinatorisches Verhalten zeigen, haben (in einer Forcingerweiterung des Universums) Non-Structure im Sinne von vielen nicht-isomorphen Modellen über fixem P. Solche Ergebnisse könnten in weiterer Folge helfen, die richtigen Trennlinien im P-Kontext und eine Variante des Main Gap zu finden. Zusätzlich hoffen wir die Verallgemeinerte Gaifman Vermutung (von Shelah und Usvyatsov) ableiten zu können: ``Structure impliziert die Existence Property (d.h., jedes Modell der P- Theorie tritt als P-Teil eines T-Modells auf.)