Untersuchung der Separation, Reduktion und Uniformisierung

Das Projekt wird definierbare Teilmengen der reellen Zahlen hinsichtlich dreier strukturell interessanter Eigenschaften untersuchen: Separation, Reduktion und Uniformisierung. Der Kürze wegen soll hier nur die Uniformisierungseigenschaft vorgestellt werden. In mathematischen Überlegungen tauchen häufig Teilmengen der reellen Zahlen auf. Diese Mengen sind meist keine beliebigen Objekte sondern sind definierbar, in dem Sinne, dass ihre Elemente gewissen präzisen Formeln genügen müssen. Die Formeln können einfacher oder komplizierter sein, was wiederum eine Hierarchie der definierbaren Teilmengen der reellen Zahlen zur Folge hat, geordnet nach der Komplexität ihrer Definitionen. Man beginnt mit ganz einfach zu definierenden Teilmengen (z.b. mit Intervallen, Geraden, Ebenen etc.) und arbeitet sich Schritt für Schritt zu immer umständlicher zu beschreibenden Objekten vor. Man sagt nun, dass eine definierbare, zweidimensionale Menge A der Komplexität n uniformisiert werden kann, wenn für jede gegebene reelle Zahl x für die mindestens eine Zahl y existiert sodass das Paar (x,y) in A liegt, solch ein y tatsächlich auch auffindbar ist, und zwar mittels einer Formel der Komplexität n. Anders ausgedrückt, falls A uniformisiert werden kann, dann kann man aus der bloßen Existenz eines y, sodass (x,y) in A ist, schon folgern, dass so ein y auch effektiv gefunden werden kann und zwar mit der Komplexität der Menge A selbst. Da es in der Mathematik oftmals entscheidend ist, nicht nur zu wissen dass es Zahlen mit gewissen Eigenschaften geben muss, sondern auch konkret solche Zahlen anzugeben, ist Uniformisierung in vielen Bereichen sehr wichtig. Die für dieses Projekt relevante Uniformiserungseigenschaft (der Komplexität n) besagt nun, dass alle Mengen A der Komplexität n uniformisiert werden können, und die Frage ob es solche n gibt sodass die Uniformiserungseigenschaft der Komplexität n gültig ist, hat sich, seitdem man sie sich vor fast hundert Jahren gestellt hat, als sehr fruchtbar erwiesen. In der Folge haben Mathematiker eine Vielzahl an tiefen und überraschenden Resultaten gefunden. So wissen wir nun, dass die Frage nach der Gültigkeit der Uniformisierungseigenschaft eine unentscheidbare Aussage im Gödelschen Sinne ist. Genauer bedeutet das, dass es verschiedene mathematische Universen gibt die unterschiedliche Meinungen zur Gültigkeit der Uniformisierungseigenschaft haben. Und weiters wissen wir, dass unter der Annahme riesenhafter Unendlichkeiten diese Unentscheidbarkeit verschwindet. Es entsteht in diesem Fall ein klares, vollständiges Bild wie die Uniformiserungseigenschaft sich verhält. Trotz dieser Arbeiten sind immer noch viele fundamentale Fragen offen. Dieses Projekt möchte einige davon untersuchen. Zwei exemplarische Beispiele sollen erwähnt werden. Erstens, ist es möglich Universen zu konstruieren die andere, vollständige Bilder der Uniformisierungseigenschaft liefern, als das Bild das die riesenhaften Unendlichkeiten erzeugen? Zweitens, sind riesige Unendlichkeiten notwendig um gewisse Bilder zu liefern?