Isogeometrische Multipatch-Schalen und Multigrid Löser

In diesem Forschungsprojekt entwickeln wir mathematische Methoden um zu analysieren, wie sich Flächen bei Belastung verformen. Dabei konzentrieren wir uns auf partielle Differentialgleichungen, die das physikalische Verhalten von dünnen Platten und Schalen beschreiben. Diese Gleichungen sind besonders nützlich, um zu verstehen, wie dünne Objekte, zum Beispiel Bauteile aus Blech, filigrane architektonische Strukturen wie Kuppeln oder Dächer oder biologische Gebilde wie Membranen oder Blutgefäße, auf unterschiedliche äußere Einflüsse reagieren. Um zu verstehen, wie das untersuchte Objekt in einer bestimmten Situation reagiert es könnte sich auf ungewöhnliche Weise verformen oder bei Krafteinwirkung brechen muss die Form des Objekts genau dargestellt und die Lösung des Problems mit hoher Präzision berechnet werden. Dies ist in vielen technischen Anwendungen von besonderem Interesse, wo exakte Simulationen durchgeführt werden können um kostspielige Tests zu vermeiden, bei denen die Bauteile möglicherweise beschädigt werden. Nehmen wir zum Beispiel ein Objekt aus Blech wie ein Autoteil. Die Art und Weise, wie es sich bei einem Aufprall verformt, hängt von komplizierten Details wie Löchern, der spezifischen Form der Ecken und Kanten, und verstärkten Teilen ab. In diesem Projekt wollen wir untersuchen, wie solche Merkmale eines Objekts mit hoher Präzision dargestellt werden können und ob bestimmte Details für die Analyse vereinfacht werden können. Eine gute Balance zu finden ist hier entscheidend. Während ein extrem detailliertes Modell für die Simulation bestimmter physikalischer Prozesse möglicherweise notwendig ist, z.B. die Berechnung der Verformung unter Belastung, kann es das Problem komplexer machen und so die Berechnung verlangsamen oder unmöglich machen. Unser Ziel ist es, eine Formdarstellung und einen geeigneten Lösungsansatz zu entwickeln, die sowohl flexibel in ihrer geometrischen Genauigkeit als auch effizient in Bezug auf die Rechengeschwindigkeit sind. Wir setzen auf das Konzept der Isogeometrischen Analyse, bei dem die selbe mathematische Beschreibung sowohl für die Darstellung der Form des Objekts als auch für die Lösung des physikalischen Problems verwendet wird. Wir konzentrieren uns insbesondere auf Darstellungen, die auf Freiform-Splines beruhen, wie sie in CAD-Systemen verwendet werden. Um schnellere Berechnungen zu ermöglichen, verwenden wir die sogenannte Multigrid-Methode, ein Verfahren aus dem Bereich des Hochleistungsrechnens, das komplexe mathematische Probleme numerisch löst. Bei dieser Methode muss die Form durch eine Struktur beschrieben werden, die sich leicht verfeinern lässt, d. h. durch eine Hierarchie von Gittern mit unterschiedlicher Auflösung, von grob bis fein. Die Methode löst das Problem dann iterativ, ausgehend von einer groben Lösung, die einfach zu berechnen ist, und durchläuft die verschiedenen Auflösungsebenen, wobei auf jeder Ebene die Lösung der vorherigen Ebene verwendet wird. Auf diese Weise optimiert sie den Rechenprozess und konvergiert schließlich nach sehr wenigen Schritten zu einem äußerst genauen Ergebnis. Das Forschungsprojekt wird von Thomas Takacs vom Johann Radon Institute for Computational and Applied Mathematics (RICAM) der Österreichischen Akademie der Wissenschaften geleitet und von Forscher*innen des RICAM gemeinsam mit Kooperationspartner*innen an der JKU Linz und der TU Delft in den Niederlanden durchgeführt.