Der Perimeter (oder höher-dimensionale Umfang) ist ein grundlegender Begriff in der euklidischen
Geometrie, und die klassische euklidische isoperimetrische Ungleichung ist eines der wichtigsten
Ergebnisse der Geometrie. Sie besagt, dass Kugeln das maximale Volumen unter allen Mengen gegebenen
Perimeters haben. Viele Ergebnisse in Geometrie und Analysis beruhen auf diesem Ergebnis. Insbesondere
die sogenannten Sobolev-Ungleichungen, die für die Theorie der partiellen Differentialgleichungen
grundlegend sind, lassen sich aus der euklidischen isoperimetrischen Ungleichung ableiten.
Zu Beginn des 19. Jahrhunderts führte Minkowski anisotrope Perimeter (auch erste gemischte Volumina
genannt) ein und bewies die Minkowski-Ungleichung (auch anisotrope isoperimetrische Ungleichung
genannt). Diese Ungleichung hat zahlreiche Anwendungen und stellt eine der Säulen der sogenannten
Brunn-Minkowski-Theorie dar.
In den letzten Jahren haben nicht-lokale Versionen von Perimeter viel Aufmerksamkeit gefunden. Hier
besagen die isoperimetrischen Ungleichungen, dass Kugeln maximales Volumen für alle Mengen eines
gegebenen s-fraktionalen Perimeter haben (wobei s ein Parameter ist). Diese und verwandte nicht-lokale
Funktionale werden verwendet, um nicht-lokale Phänomene in vielen Anwendungen zu modellieren.
Das Forschungsprojekt zielt darauf ab, nicht-lokale Versionen der anisotropen isoperimetrischen
Ungleichung und verwandter Ungleichungen zu etablieren. Im nicht-lokalen Kontext entspricht dies dem
Schritt von der euklidischen Geometrie zur Brunn-Minkowski Theorie. Das Projekt zielt auch darauf ab,
entsprechende Ungleichungen in der Analysis zu etablieren, insbesondere scharfe anisotrope fraktionelle
Sobolev-Ungleichungen.