Der d-quer-Neumann Operator und verwandte Themen

Die Themenstellung dieses Projektes liegt an der Schnittstelle mehrerer Teilgebiete der Mathe- matik. Die komplexe Analysis (Differential-und Integralrechnung in mehreren Veranderlichen uber den komplexen Zahlen) wird erganzt durch Methoden in unendlich-dimensionalen Vektorraumen (Hilbertraume). Dabei ist eine partielle Differentialgleichung von besonderer Bedeutung: die Cauchy- Riemannsche Differentialgleichung, die fur die gravierenden Unterschiede zur reellen Analysis verant- wortlich ist. Der d-quer Neumann Operator liefert wichtige Einsichten zur Losung der homogenen und inhomogenen Cauchy-Riemannschen Differentialgleichung und vermittelt tiefliegende Informationen, wie die Eigenschaften holomorpher Funktionen die Geometrie jener Bereiche beschreiben, auf denen die Funktionen definiert sind. Interessant ist es ebenfalls, dass sich Zusammenhange zu Problemen der mathematischen Physik ergeben, wie zum Beispiel Schrodinger Operatoren mit Magnetfeld und die Unscharferelation der Quantenphysik. Die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren der Quanten- mechanik gewinnen eine elegante mathematische Beschreibung in speziellen Hilbertraumen holomor- pher Funktionen. Diese Hilbertraume besitzen spezielle reproduzierende Kerne, deren Analysis eine besondere Herausforderung darstellt.Eine wichtige Verallgemeinerung der Cauchyschen Integral- formel fur mehrere komplexe Variablen ist die Leraysche Integralformel, die mit eleganten Methoden der letzten funfzig Jahre analysiert wird. Schließlich wird auch die moderne Differentialgeometrie dazu verwendet die Dualitat in Hilbertraumen holomorpher Funktionen in vielen Details zu beschreiben.