Moduln, Monoide und Faktorisierungen

Ein Grundprinzip im Studium mathematischer Objekte ist es, die Zerlegung dieser Objekte in ihre einfachst-möglichen Teile zu verstehen. Dieses Prinzip ist auf ein breites Spektrum von Objekten anwendbar, angefangen von der Zerlegung der natürlichen Zahlen als Produkte von Primzahlen --- Fragen welche die Zahlentheorie seit jeher antreiben, über Faktorisierungen in allgemeineren Ringen (das sind mathematische Strukturen in welchen wir addieren und multiplizieren können), bis zur Zerlegung von Moduln in direkte Summen unzerlegbarer Moduln. Diese Fragen fallen im Wesentlichen in den Bereich der Faktorisierungstheorie, einem mathematischen Teilgebiet an der Schnittstelle der Algebra, Zahlentheorie, und additiven Kombinatorik. Im Projekt beschäftigen wir uns mit der Wechselwirkung der Faktorisierungstheorie und der Modultheorie (letztere ist, sehr grob gesprochen, die mathematische Theorie welche sich als Verallgemeinerung des Studiums der Lösungen linearer Gleichungen über Ringen ergibt). Diese Wechselwirkung manifestiert sich in zwei Aspekten: (i) die Modultheorie liefert ein nützliches Werkzeug um die Faktorisierung von Elementen in wichtigen Klassen noetherscher Ringe und Algebren; im aktuellen Projekt liegt der Fokus auf homologischen Methoden und Hopfalgebren, und (ii) erlaubt die Einführung eines geeigneten Monoids das Studium direkter Summenzerlegungen von Moduln mit Mitteln der Faktorisierungstheorie. In diesem zweites Teil liegt der Schwerpunkt auf der Verallgemeinerung des existierenden erfolgreichen monoid-theoretischen Zugangs, welcher das Studium endlicher direkter Summenzerlegungen ermöglicht, auf unendliche direkte Summenzerlegungen. Die Absicht ist ein besseres Verständnis der Arithmetik unendlicher direkter Summenzerlegungen und von Realisierungsresultaten als auch ihrer Grenzen.