Semialgebraische Operatoralgebra mit Anwendungen

Semialgebraische Geometrie studiert Mengen von Punkten, die durch polynomiale Ungleichungen definiert sind. In der nicht-kommutativen Variante werden klassische Punkte dabei durch Matrizen ersetzt, man erhält so Mengen von Matrizen beliebiger Größe. In der Operatoralgebra studiert man lineare Operatoren in Bezug auf ihr Zusammenspiel, dabei treten häufig gerade solche Matrixmengen auf. Viele Konzepte und Fragestellungen kann man deshalb sowohl aus Sicht der Geometrie als auch der Operatortheorie untersuchen. Das vorliegende Projekt entwickelt zunächst grundlegende Theorie an der Schnittstelle der beiden genannten Gebiete. Das soll zu einer besseren Übersetzbarkeit von Methoden und Ergebnissen aus jedem der Bereiche in den jeweils anderen führen. Schwerpunktmäßig werden dabei abstrakte Operatorsysteme und deren Eigenschaften untersucht. Operatorsysteme bilden dabei gerade eine spezielle Klasse der oben genannten nicht- kommutativen semialgebraischen Mengen. Auch eine Verallgemeinerung von Operatorsystemen ist geplant, um die bekannten Methoden und Ergebnisse auf Fragen anzuwenden, die bisher so nicht zugänglich waren. Im nächsten Schritt werden die gewonnene Theorien und Ergebnisse auf Fragen der konvexen algebraischen Geometrie und der Quanteninformationstheorie angewandt. Dabei werden beispielsweise Fragen zur Darstellbarkeit konvexer Mengen als Schnitte gewisser Standardkegel betrachtet. Diese Art von Darstellungen sind in der Optimierung von großer Bedeutung, sie tauchen beispielsweise in der linearen und semidefiniten Optimierung auf. Des Weiteren sollen Fragen zu Destillation von Verschränkung (entanglement distillation) und die sogenannte PPT2-Vermutung mit den neu entwickelten Methoden untersucht werden. Bei beiden Fragen handelt es sich um wichtige offene Probleme aus der Quanteninformationstheorie, die momentan intensiv untersucht werden. Die Kombination von semialgebraischer Geometrie und Operatoralgebra ist ein neuartiger Ansatz, um die genannten Fragen zu studieren. Erste vielversprechende Ergebnisse sind in den vergangenen Jahren so bereits erzielt worden. Das Projekt soll diesen Ansatz weiter vorantreiben und dabei helfen, seine volle Stärke zu entwickeln.