Flache Systeme - Geometrische Systemtheorie und Anwendungen

Die Analyse und Beeinflussung von Systemen wird zweckmäßig anhand mathematischer Modelle der zugrundeliegenden (physikalischen) Prozesse durchgeführt. Dynamische Prozesse lassen sich mithilfe sogenannter Differentialgleichungen (DGLn) beschreiben. Besonders nichtlineare DGLn stellen eine enorme Herausforderung hinsichtlich der Systemanalyse und der Regelung dar. Unter Regelung versteht man die gezielte Beeinflussung von Systemen durch Aktoren z.B. werden durch Triebwerke Kräfte auf ein Flugzeug aufgebracht und beeinflussen so das Verhalten (hoffentlich im gewünschten Maße). Für nichtlineare Systeme, welche die so-genannte Flachheitseigenschaft haben, vereinfacht sich die Analyse, jedoch ist diese Eigenschaft im allgemeinen sehr schwierig nachweisbar. Im Wesentlichen besagt die Flachheitseigenschaft, dass man die Systemlösungen mithilfe von frei vorgebbaren Funktionen parametrieren kann, was für nichtlineare Systeme eine bemerkenswerte Eigenschaft ist. Verwendet man zur Regelung von Prozessen einen Digitalrechner, dann kann es zweckmäßig sein, anstatt einer Differentialgleichung eine sogenannte Differenzengleichung zu betrachten. Auch für Differenzengleichungen ist die Systemeigenschaft der Flachheit eine sehr interessante und anspruchsvolle. In diesem Forschungsprojekt widmen wir uns der Aufgabe Methoden zu entwickeln, die den Nachweis der Flachheitseigenschaft für nichtlineare Systeme ermöglichen. Auch wenn das Problem nicht vollständig gelöst werden kann, so ist es bereits ein wesentlicher Erkenntnisgewinn, wenn Resultate für gewisse Systemklassen erzielt werden können. Dies soll für nichtlineare Differentialgleichungen sowie für nichtlineare Differenzengleichungen vorangetrieben werden. Neben dem systemtheoretischen Interesse an der Flachheit, bietet dieses Konzept auch enorme Möglichkeiten für eine flachheitsbasierte Regelung. Auch hier wollen wir Beiträge leisten, indem beispielsweise untersucht wird welche Systemgrößen für eine praktische Realisierung einer sogenannten Trajekorienfolgeregelung gemessen werden müssen und welche Auswirkungen die im Entwurf auftretenden Freiheitsgrade auf die Reglerperformance haben. In industriellen Anwendungen werden nichtlineare Systeme oft durch Linearisierung um einen Betriebspunkt betrachtet, um die mächtigeren Methoden aus der linearen Systemtheorie anwenden zu können. Neue Erkenntnisse, welche nun direkt auf dem nichtlinearen System basieren, bieten im Vergleich zu den oben genannten Näherungslösungen natürlich entsprechende Vorteile, insbesondere hinsichtlich Performance, Effizienz, Energieverbrauch und Robustheit, um nur einige zu nennen.