Spins, Felder und Schleifen

Das Ziel dieses Projekts ist die mathematische Untersuchung von Spinmodellen, zufälligen Oberflächen und Schleifen und deren Beziehung. Stellen Sie sich eine zufällige Sammlung von Richtungen vor, die jedem Punkt eines quadratischen Gitters zugeordnet sind. Die Richtungen (oder Pfeile) stellen magnetische Momente von Teilchen dar, und ihr Verhalten ändert sich, wenn man die Temperatur des physikalischen Systems erhöht. Es wurde bekanntlich vorhergesagt (was 2016 zum Nobelpreis für Physik führte), dass diese Änderung durch eine komplizierte Wechselwirkung zwischen Wirbeln und Gegenwirbeln (Punkte auf dem Gitter, an denen die zufälligen Richtungen in einem kleinen Bereich eine vollständige Umdrehung machen) verursacht wird. Dies wird jetzt als topologischer Phasenübergang bezeichnet. Eine faszinierende mathematische Konstruktion namens Dualität bezieht dieses Verhalten auf die Untersuchung zufällig fluktuierender Oberflächen. Über diesen Link planen wir, mehrere offene Fragen zum großräumigen Verhalten sowohl des Spinmodells als auch der zufälligen Oberfläche zu beantworten. Wenn das Gitter kubisch und nicht quadratisch ist, ist der Phasenübergang bekanntlich von ganz anderer Natur. Bei niedriger Temperatur organisieren sich die Pfeile spontan und zeigen in die gleiche Richtung. Eine wichtige Frage auf diesem Gebiet ist es, die Pfeile genau bei der Temperatur des Übergangs zu verstehen. Es wird erwartet, dass die Pfeile in alle Richtungen zeigen und ungeordnet aussehen. Wir planen, diese Frage zu beantworten, indem wir eine neu entdeckte Darstellung des Modells als Sammlung zufällig fluktuierender Schleifen verwenden.