Analytische Eigenschaften der Zeta- und L-Funktionen

Die Zahlentheorie ist ein Teilgebiet der reinen Mathematik, das sich mit den Eigenschaften der ganzen Zahlen beschäftigt. Algebraische und analytische Zahlentheorie werden als Zweige der Zahlentheorie betrachtet, wobei die analytische Zahlentheorie die Werkzeuge und Methoden der Analysis zur Lösung schwieriger zahlentheoretischer Probleme verwendet. Die Riemannsche Zetafunktion nimmt einen zentralen Platz in der analytischen Zahlentheorie ein, insbesondere wegen ihrer engen Beziehung zu Primzahlen über das Euler-Produkt. Die Verteilung der Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion, die so genannte Riemannsche Hypothese, gilt als eines der größten ungelösten Probleme der reinen Mathematik. 1975 bewies Woronin sein berühmtes Universalitätssatz für die Riemannsche Zetafunktion, das besagt, dass jede nicht verschwindende holomorphe Funktion gleichmäßig durch bestimmte Verschiebungen der Zetafunktion approximiert werden kann. Diese verblüffende Annäherungseigenschaft wird Universalität genannt. Sie hat viele wichtige Anwendungen in der Theorie der Werteverteilung, der Riemannsche- Hypothese, der algebraischen Zahlentheorie, und der Physik. Universalitätssatz von Woronin zog viele Mathematiker an, die spannende Beiträge zur Entwicklung der Universalitätstheorie leisteten, indem sie in verschiedene Richtungen verbesserten und erweiterten. Leider sind die bekannten Beweise der Universalitätssatz unwirksam. Aus diesem Grund kann man sagen, dass die effektive Universalität eine große Herausforderung für die Universalitätstheorie darstellt. Der erste Teil des Projekts befasst sich mit den Universalitätssatz von Bagchi und Eminyan, die sich mit einer Charaktere befassen, die bestimmte Näherungsbedingungen erfüllt, und eine andere Art von Universalität liefern. Eine wichtige Verallgemeinerung des Begriffs der Zetafunktionen ist Vielfach- Zetafunktionen. Die Geschichte der Vielfach-Zetafunktionen reicht zurück bis in die Tage von Euler, wo sie in der Mathematik und Physik auftauchten. Dennoch hat sich erst vor kurzem gezeigt, wie interessant sie sind. Die Vielfach-Zetafunktionen sind mit mehrerenfaszinierenden Themenverbunden, darunterKnotentheorie, Quantenfeldtheorie und Spiegelsymmetrie. Allerdings, sind die Vielfach-Zetafunktionen noch immer nicht gut verstanden, da sie komplexe Funktionen in mehreren Variablen sind und ihr analytisches Verhalten ein recht kompliziertes Problem darstellt. Dies macht die Untersuchung dieser Funktionen zu einer großen Herausforderung. Im zweiten Teil des Projekts interessieren wir uns für die Laurent-Stieltjes-Konstanten (das sind die Koeffizienten der Laurent-Erweiterung von Zetafunctionen und L- Funktionen an ihrem Pol) der Euler-Zagier-Vielfach-Zetafunktionen. Wir untersuchen zunächst die Vorzeichenwechsel der Laurent-Stieltjes-Konstanten und geben dann obere Schätzwerte für diese Konstanten an. Wir erweitern unsere obige Aufgabe auch für V i e l f a