Polynomfunktionen in der Theorie kommutativer Ringe

Unser Projekt betrifft die Theorie kommutativer Ringe und legt ein besonderes Augenmerk auf deren Verbindungen zur Topologie, Arithmetik, Gruppentheorie und algebraischen K-Theorie. Ein Ziel in Bezug auf topologische Methoden in der kommutativen Ringtheorie ist die Charakterisierung nicht-Archimedischer Uniformitäten durch eine Reihe äquivalenter Axiome. Mit den dadurch erlangten Einsichten sollen dann Vervollständigungen von Ringen bzgl. I-adischer Topologien und deren Anwendungen auf die Skolemeigenschaften und die Primspektra von Ringen von Funktionen studiert werden. Ein weiteres Forschungsgebiet ist die Arithmetik von Prüfer- und Krullringen. Hier sind wir besonders an nicht eindeutigen Zerlegungen von Element in irreduzible Elemente von nicht- Noetherschen Prüferringen interessiert. Ausschlaggebend ist beispielsweise die Existenz oder Nichtexistenz von Primelementen und absolut irreduziblen Element bzw. auch das Studium von Divisorentheorien und allgemeiner von Divisorhomomorphismen. Mit Hilfe von Gruppentheorie werden wir Gruppen von Polynompermutationen über Ringen von Dualzahlen über endlichen Ringen betrachten. Forschungsgegenstand sind deren Sylow- Untergruppen, deren Normalteiler und projektive Limiten von Systemen solcher Gruppen. Außerdem wollen wir uns an die K-Theorie nicht-Noetherscher Prüferringe wagen. In diesem Zusammenhang ist es von Bedeutung, wie weit Matrizen mit Determinante 1 über Int(Z) davon entfernt sind, Produkte von Elementarmatrizen zu sein, wobei Int(Z) den Ring der ganzwertigen Polynome über dem Ring der ganzen Zahlen bezeichnet. Außerdem planen wir die Struktur der speziellen linearen Gruppe der 2x2-Matrizen über Int(Z) zu studieren. Als ersten Schritt in diese Richtung wollen wir zeigen, dass der sogenannte stable rank von Int(Z) gleich 2 ist.