Topologische Anwendungen der Wadge-Theorie

Mit diesem Forschungsprojekt beabsichtigen wir, topologische Ergebnisse mit den Werkzeugen der Mengenlehre zu erhalten. Entscheidend für unsere Untersuchungen ist der Begriff der Homogenität: Ein Raum ist homogen, wenn alle seine Punkte gleich aussehen. Wichtige Beispiele für homogene Räume sind die topologischen Gruppen: das sind Räume, in denen die Homogenität durch eine algebraische Operation wie Addition oder Multiplikation gewährleistet ist. Ein noch stärkeres Beispiel sind die sogenannten Filter: Auch hier haben wir eine starke kombinatorische Struktur. Unser Hauptziel ist es, Ergebnisse von van Engelen von Borel-Räumen (dies sind Räume begrenzter Komplexität) auf beliebige Räume zu verallgemeinern. Genauer gesagt planen wir eine Klassifikation der nulldimensionalen homogenen Räume, der nulldimensionalen topologischen Gruppen und der Filter bis auf Homöomorphie. (Ein Raum ist nulldimensional, wenn er viele Lücken hat. Zwei Räume sind homöomorph, wenn sie aus topologischer Sicht im Wesentlichen derselbe Raum sind.) Der Preis, den man zahlen muss, um diese sehr allgemeinen Ergebnisse zu erhalten, ist die Notwendigkeit, ein sehr starkes Axiom anzunehmen, bekannt als AD (Axiom of Determinacy), unter dem das Universum der Mengen extrem regelmäßig ist. Tatsächlich wird unser Hauptwerkzeug die Wadge-Theorie sein (die eine tiefgreifende Analyse der topologischen Komplexität der nulldimensionalen Räume liefert), und diese Theorie verhält sich nur unter AD gut. Wir hoffen und erwarten, dass die Arbeit, die in den jüngsten gemeinsamen Artikeln mit R. Carroy und S. Müller geleistet wurde, unsere Erfolgschancen erheblich erhöhen wird.