Spuren von Lösungen von Evolutionsgleichungen

Im Rahmen des Projekts werden wir Grenzeigenschaften von Lösungen von Gleichungen untersuchen, die eine Vielzahl von Naturphänomenen beschreiben. Wie der Name der Gleichungen schon sagt, handelt es sich um Prozesse, die sich mit der Zeit entwickeln, und dazu gehören z.B. die Dynamik von Öl/Gas in einem porösen Medium, Verkehrsfluss, verschiedene Räuber-Beute-Modelle usw. Grob gesagt teilt sich die mathematische Erforschung solcher Gleichungen in zwei Richtungen. Die erste ist die Entwicklung numerischer Methoden, die explizite Näherungslösungen für die Gleichungen liefern. Sie werden in der Industrie verwendet, um Entscheidungsprozesse zu vereinfachen, zukünftige Vermögenswerte (finanziell oder natürlich) vorherzusagen, technische Projekte billiger zu machen, usw. Andererseits ist es nicht weniger wichtig, intrinsische Eigenschaften von Lösungen der Gleichungen zu untersuchen, da dies beispielsweise die Korrektheit der Modellgleichung beweisen oder widerlegen kann. Genauer gesagt, wenn wir in der Lage sind, die Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen zu beweisen, können wir sagen, dass das Modell realistisch ist. Eine weitere erwartete Eigenschaft eines realistischen Modells ist das Vorhandensein von Spuren für Lösungen der Modellgleichungen. Genau dies ist das Untersuchungsgebiet des aktuellen Projekts. Wir wollen beweisen, dass physikalisch relevante Lösungen verschiedener Evolutionsgleichungen zum Zeitpunkt t=0 starke Spuren aufweisen, d.h. dass sie aus bestimmten Ausgangssituationen natürlich entstanden sind. Dies zeigt, dass Lösungen der betrachteten Gleichungen tatsächlich den entsprechenden Evolutionsprozess beschreiben. Eine weitere Implikation unserer Forschung ist die Entwicklung neuer mathematischer Werkzeuge, die aufgrund der hohen Komplexität des Problems Auswirkungen auf verschiedene Bereiche wie partielle Differentialgleichungen, Funktionalanalysis und stochastische Analysis und Differentialgeometrie haben werden. Wir listen die konkreten Ergebnisse, an denen wir arbeiten werden, auf: 1. Existenz starker Spuren von Entropielösungen zu skalaren Erhaltungssätzen mit einem regulären Fluss, der explizit von der Raumvariablen abhängt. 2. Existenz starker Spuren bei t = 0 von Lösungen degenerierter parabolischer Gleichungen. 3. Existenz starker Spuren bei t = 0 für geschwindigkeitsgemittelte Lösung von Diffusionstransportgleichungen. 4. Lösungskonzept für das Anfangsrandwertproblem für degenerierte parabolische Gleichungen. 5. Spuren von Entropielösungen zu degenerierten parabolischen Gleichungen auf Mannigfaltigkeiten mit stochastischem Antrieb. Die genannten Probleme sind seit langer Zeit ausstehend oder erfordern völlig neue Methoden und Ansätze zu ihrer Lösung. Am Ende des Projekts hoffen wir, eine klare Vorstellung davon zu haben, welche Eigenschaften von Lösungen für die sehr allgemeine Klasse von Evolutionsgleichungen, die dem Projekt zugrunde liegen, erwartet werden können.