Stabile Singularitäten in superkritischen Wellengleichungen

Partielle Differentialgleichungen sind ein grundlegendes mathematisches Instrument zur Beschreibung von dynamischen Vorgängen. Seit Newton findet die Beschreibung der Natur in der Physik in der Sprache der Differentialgleichungen statt. Ein einfaches Beispiel ist die Beschreibung einer schwingenden Saite durch die Wellengleichung. Dabei gibt man den Anfangszustand der Saite (z.B. die Auslenkung) vor und die Lösung der Gleichung liefert das zukünftige zeitliche Verhalten. Differentialgleichungen sind allerdings nur in den einfachsten Fällen explizit lösbar. Meist ist es sogar zunächst unklar, ob eine gegebene Differentialgleichung überhaupt Lösungen besitzt. Es ist daher die Aufgabe der Mathematik, entsprechende Lösungstheorien zu entwickeln. Bei vielen komplexeren Systemen kommt es zudem vor, dass die Lösung zwar für kurze Zeiten existiert, aber dann in irgendeiner Form zusammenbricht. Ein physikalisches Beispiel ist die dynamische Entstehung eines schwarzen Lochs. Hierbei bildet sich eine Singularität in der Raumzeit, welche durch den Zusammenbruch der Lösung einer gewissen Differentialgleichung gekennzeichnet ist. Es ist daher von großem Interesse, mögliche Mechanismen für den Zusammenbruch von Lösungen zu verstehen und das Verhalten der Lösung kurz vor dem Zusammenbruch zu analysieren. Das Ziel des Forschungsprojekts ist, solche Fragen für eine Klasse von Wellengleichungen zu studieren, die aus der Geometrie und/oder der Physik stammen. Das mathematische Verständnis der auftretenden Phänomene ist nach wie vor unzureichend und das Forschungsprojekt soll den Horizont merklich erweitern.

Das Forschungsprojekt befasste sich mit der Entstehung von Singularitäten in nichtlinearen Wellengleichungen. Diese Arten von Gleichungen beschreiben eine Vielzahl von grundlegenden physikalischen Prozessen. Eine abrupte Änderung des physikalischen Systems, etwa die spontane Umpolung eines Magneten oder die Entstehung eines schwarzen Lochs in der allgemeinen Relativitätstheorie, äußert sich mathematisch durch die Entstehung einer sogenannten Singularität. Ein präzises mathematisches Verständnis von Singularitäten ist daher von größtem Interesse und das Ziel des Projekts war es, dieses zu verbessern oder in vielen Fällen überhaupt erst zu entwickeln. Im Rahmen des Projekts ist es gelungen, eine neue Theorie der Stabilität von Singularitäten in allgemeinen Koordinatensystemen zu entwickeln sowie Singularitäten unter minimalen Regularitätsvoraussetzungen zu verstehen. Diese Ergebnisse betreffen stark vereinfachte Modelle aber die dabei entdeckten Mechanismen sind auch in realistischen physikalischen Systemen aktiv.