Bewertungen auf konvexen Funktionen

Das Konzept der Bewertung (oder additiven Funktion) ist grundlegend in der Geometrie und wird dort seit Dehns Lösung von Hilberts Drittem Problem 1901 untersucht. Hadwigers fundamentaler Funktionalsatz gibt eine vollständige Klassifikation von stetigen und bewegungsinvarianten Bewertungen auf kompakten, konvexen Mengen an und charakterisiert dadurch die intrinsischen Volumina. Bewertungen treten auf natürliche Weise in vielen Problemen auf. Anwendungen in der Integralgeometrie und den geometrischen Wahrscheinlichkeiten sind klassisch. Seit kurzem werden Bewertungen auch erfolgreich in den Materialwissenschaften, der Astronomie und der Tomographie angewendet. Der Begriff der Bewertung wurde vor ungefähr zehn Jahren auf Funktionenräume ausgedehnt (Ludwig: Advances in Mathematics 2011; American Journal of Mathematics 2012). Solche Räume sind in allen Teilen der mathematischen Analysis von großer Bedeutung. Das Ziel des Projektes ist eine systematische Untersuchung von Bewertungen auf konvexen Funktionen. Damit soll die sehr erfolgreiche geometrische Theorie von Bewertungen und die damit verbundenen Resultate der Integralgeometrie von kompakten, konvexen Mengen auf konvexe Funktionen übertragen werden. Diese neue Theorie ist eng mit der konvexen Analysis verknüpft und Anwendungen in diesem Gebiet sind Teil des Projektes.

Die Beschreibung von aussagekräftigen Kenngrößen von Räumen von Funktionen hilft bei der Anwendung dieser Räumen. In dem Projekt ist das für Räume konvexer Funktionen gelungen und erste Schritte wurde für diskrete ganzzahlige Probleme gemacht. Speziell wurde ein Hadwiger-Satz, also eine Klassifizierung aller invarianten und stetigen, endlich-additiven Maße, wobei Translationen und Rotationen betrachtet wurden, erzielt, und die entsprechenden Funktionale, die sogenannten funktionalen inneren Volumina, diskutiert und auf verschiedene Weise dargestellt. Darüberhinaus wurden Maß-wertige Funktionale klassifiziert.