Singularitäten in dispersiven Wellengleichungen

Das Forschungsprojekt beschäftigt sich mit der mathematischen Analyse von nichtlinearen dispersiven Wellengleichungen,einerspeziellenKlasse von partiellen Differentialgleichungen. Nichtlineare Wellengleichungen sindzentral in der Beschreibungunterschiedlichster Phänomenein den Naturwissenschaften, insbesondere in der Physik, wo sie grundlegend für die allgemeine Relativitätstheorie und die Quantenfeldtheorie sind. Trotz dieser vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten ist das mathematische Verständnis solcher Gleichungen nach wie vor unzureichend. Aus diesem Grund ist das Studium von dispersiven Wellengleichungen ein zentrales und äußerst aktives Forschungsgebiet der modernen Mathematik. Das einfachste physikalische Modell, welches durch eine Wellengleichung beschrieben wird, ist die schwingende Saite. Als Anfangsdaten gibt man dabei im Wesentlichen die Auslenkung der Saite vor und berechnet dann die Lösung der Wellengleichung, welche die zukünftige Entwicklung des Systems beschreibt. Man studiert daher für Wellengleichungen das sogenannte Anfangswertproblem: Gegeben die Anfangskonfiguration zu einem gewissen Zeitpunkt, wie sieht die zukünftige Entwicklung des Systems aus? Diese Frage ist im Allgemeinen sehr schwierig zu beantworten, da die Lösung typischerweise nicht explizit als Formel angegeben werden kann. Man muss sich daher mit indirekten Methoden behelfen. Viele nichtlineare Wellengleichungen entwickeln Singularitäten in endlicher Zeit. Das heißt, die Lösung existiert nicht für alle Zeiten, obwohl die Anfangsdaten regulär sind. Ein physikalisches Phänomen, das durch solch einen Zusammenbruch beschrieben wird, ist etwa die Entstehung eines schwarzen Lochs in der allgemeinen Relativitätstheorie. Die Anfangsdaten entsprechen dabei einem Stern, der beginnt zu kollabieren. Ein anderes Beispiel ist das abrupte Umschlagen der Polarisierung eines Magneten. Im Allgemeinen ist es nicht einfach festzustellen, ob eine Gleichung Singularitäten in endlicher Zeit entwickelt. Für die Gleichungen in diesem Forschungsprojekt ist es jedoch möglich, explizite selbstähnliche Lösungen zu konstruieren, welche nach endlicher Zeit aufhören zu existieren. Die drängende mathematische Frage betrifft dann die Stabilität dieser Lösungen. Da es in der Natur keine isolierten Systeme gibt, sind nur stabile Lösungen von physikalischer Relevanz. Speziell in den letzten 20 Jahren hat es spektakuläre Fortschritte in der mathematischen Analyse von Singularitäten in nichtlinearen Wellengleichungen gegeben. Viele dieser Resultate beziehen sich jedoch auf sogenannte energiekritische und -subkritische Gleichungen. Für die Anwendung ist allerdings die schwierigere Klasse von superkritischen Gleichungen wichtiger. Das Hauptziel des Forschungsprojekts ist daher die Entwicklung neuer und robuster mathematischer Methoden zur Analyse der Stabilität von selbstähnlichen Lösungen für superkritische dispersive Wellengleichungen. Die zu entwickelnden Methoden basieren dabei auf einer Kombination von klassischer Analysis partieller Differentialgleichungen, Spektraltheorie, harmonischer Analysis, nichtlinearer Funktionalanalysis, Operatortheorie und numerischer Analysis. Das Ziel ist, bisher unzugängliche Fragestellungen für ausgewählte Modellgleichungen einer strengen mathematischen Untersuchung zuzuführen in der Hoffnung, auf lange Sicht auch physikalisch realistischere Systeme behandeln zu können.

Das FWF Project P30076 war der theoretischen Analyse einer Klasse von partiellen Differentialgleichungen gewidmet, welche zeitlich veränderliche Prozesse in der Physik, der Biologie und der Geometrie beschreiben. Obwohl diese Gleichungen fundamental für viele Phänomene in den Naturwissenschaften und der reinen Mathematik sind, ist das mathematische Verständnis überraschend gering. Das Hauptziel des Projekts war es, hier Abhilfe zu schaffen und neue Aspekte diese wichtige Klasse von Gleichungen betreffend zu beleuchten. Ein spezieller Schwerpunkt wurde dabei auf die Analyse von selbstähnlichen Lösungen gelegt. Diese Lösungen liefern Beispiele von Singularitätenentstehung in endlicher Zeit. Die physikalische, biologischer oder geometrische Bedeutung dieser Singularitäten hängt stark von deren Stabilität ab. Im Rahmen des Projekts haben wir daher neue mathematische Methoden entwickelt, basierend auf Spektraltheorie und nichtlinearer Funktionalanalysis, um die Stabilität von selbstähnlichen Lösungen zu analysieren und streng zu beweisen. Unsere Resultate haben das Gebiet stark weiterentwickelt und ermöglichen uns jetzt Probleme zu studieren, die wenige Jahre zuvor noch völlig außer Reichweite waren.