Lösen inverser Probleme ohne Vorwärtsoperator

Ganz allgemein gesprochen bestimmen inverse Probleme die Ursachen für gewünschte oder beobachtete Effekte. Ein Beispiel dafür ist die Rekonstruktion von Strukturen innerhalb des Körpers aus Messungen außerhalb, so wie es in der medizinischen Bildgebung durchgeführt wird. Konkret misst man z.B. in der elektrischen Impedanztomografie EIT die elektrischen Spannungsmuster an der Körperoberfläche, die sich aufgrund von mittels Elektroden an der Körperoberfläche eingeprägten Strömen einstellen. Das Zusammenspiel dieser Muster wird entscheidend durch die Verteilung der elektrischen Leitfähigkeit innerhalb des Körpers beeinflusst, das heißt hier ist die innere Leitfähigkeit die Ursache für die beobachteten Strom-Spannungseffekte an der Oberfläche. Durch Invertieren dieser Ursache-Wirkungs-Abbildung erhält man die Leitfähigkeitsverteilung und damit, durch Zuweisen typischer Leitfähigkeitswerte für Lunge, Herz, gutartiges und bösartiges Gewebe usw., ein Bild vom Inneren des Körpers. Inverse Probleme haben viele weitere Anwendungen von der Materialcharakterisierung über die zerstörungsfreie Werkstoffprüfung bis hin zur Modellkalibrierung in Biologie, Wirtschafts- und Sozialwissenschaften. Rechenmethoden zur Lösung inverser Probleme beruhen üblicherweise auf einer Art von Inversion der erwähnten Ursache-Wirkungs-Abbildung, die auch als Vorwärtsoperator bezeichnet wird. Dieser Vorwärtsoperator ist jedoch häufig sehr rechenzeitintensiv zu evaluieren oder manchmal gar nicht wohldefiniert. In solchen Fällen kann es hilfreich sein, eine andere Perspektive einzunehmen und das inverse Problem als System aus Modell und Beobachtungen zu betrachten, mit dem Systemzustand (im obigen EIT Beispiel wäre das das elektrische Potenzial innerhalb des Körpers) und dem gesuchten Parameter (der Leitfähigkeitsverteilung bei EIT) als Unbekannten. Rekonstruktionsverfahren, die auf einer solchen Formulierung basieren, werden oft als all-at-once Methoden bezeichnet, weil sie das Modell und die Beobachtungen zugleich betrachten ohne wie die obengenannten Vorwärtsoperator-Methoden - den Systemzustand zu eliminieren. In diesem Projekt planen wir, die mathematische Theorie für solche all-at-once Methoden weiterzuentwickeln und deren Anwendungsfeld zu erweiteren. Insbesondere planen wir, den erwähnten Zugang von Modell+Beobchtungs-Gleichungssystem zu Formulierungen zu erweiteren, die auf Optimierungsproblemen anstelle von Gleichungssystemen beruhen.

Ganz allgemein gesprochen bestimmen inverse Probleme die Ursachen für gewünschte oder beobachtete Effekte. Ein Beispiel dafür ist die Rekonstruktion von Strukturen innerhalb des Körpers aus Messungen außerhalb, so wie es in der medizinischen Bildgebung durchgeführt wird. Konkret misst man z.B. in der elektrischen Impedanztomografie EIT die elektrischen Spannungsmuster an der Körperoberfläche, die sich aufgrund von mittels Elektroden an der Körperoberfläche eingeprägten Strömen einstellen. Das Zusammenspiel dieser Muster wird entscheidend durch die Verteilung der elektrischen Leitfähigkeit innerhalb des Körpers beeinflusst, das heißt hier ist die innere Leitfähigkeit die Ursache für die beobachteten Strom-Spannungseffekte an der Oberfläche. Durch Invertieren dieser Ursache-Wirkungs-Abbildung erhält man die Leitfähigkeitsverteilung und damit, durch Zuweisen typischer Leitfähigkeitswerte für Lunge, Herz, gutartiges und bösartiges Gewebe usw., ein Bild vom Inneren des Körpers. Inverse Probleme haben viele weitere Anwendungen von der Materialcharakterisierung über die zerstörungsfreie Werkstoffprüfung bis hin zur Modellkalibrierung in Biologie, Wirtschafts- und Sozialwissenschaften. Rechenmethoden zur Lösung inverser Probleme beruhen üblicherweise auf einer Art von Inversion der erwähnten Ursache-Wirkungs-Abbildung, die auch als Vorwärtsoperator bezeichnet wird. Dieser Vorwärtsoperator ist jedoch häufig sehr rechenzeitintensiv zu evaluieren oder manchmal gar nicht wohldefiniert. In solchen Fällen kann es hilfreich sein, eine andere Perspektive einzunehmen und das inverse Problem als System aus Modell und Beobachtungen zu betrachten, mit dem Systemzustand (im obigen EIT Beispiel wäre das das elektrische Potenzial innerhalb des Körpers) und dem gesuchten Parameter (der Leitfähigkeitsverteilung bei EIT) als Unbekannten. Rekonstruktionsverfahren, die auf einer solchen Formulierung basieren, werden oft als all-at-once Methoden bezeichnet, weil sie das Modell und die Beobachtungen zugleich betrachten ohne - wie die obengenannten Vorwärtsoperator-Methoden - den Systemzustand zu eliminieren. In diesem Projekt planen wir, die mathematische Theorie für solche all-at-once Methoden weiterzuentwickeln und deren Anwendungsfeld zu erweiteren. Insbesondere planen wir, den erwähnten Zugang von Modell+Beobchtungs-Gleichungssystem zu Formulierungen zu erweiteren, die auf Optimierungsproblemen anstelle von Gleichungssystemen beruhen.