Algebraische Randwertprobleme und Integraltransformationen

Viele Problemstellungen in Naturwissenschaft und Technik - aber auch in Ökonomie und Versicherungsmathematik lassen sich in der Sprache von sogenannten Randwertproblemen ausdrücken. Der in Frage stehende Prozess wird dabei in eine Differentialgleichung mit zusätzlichen Randbedingungen übersetzt; erstere beschreibt typischerweise ein Naturgesetz oder eine Modellrelation, letztere Messungen oder Werteinstellungen zur eindeutigen Festlegung des Prozesses. Es gibt ein reichhaltiges Repertoire an numerischen Methoden zur Lösung von Randwertproblemen. Die numerische Rechnung ist allerdings immer eine Approximation und auf eine einzelne konkrete Zahlenkonstellation fixiert. Um Lösungen algebraisch zu studieren etwa die Parameterabhängigkeiten oder Möglichkeiten der Problemzerlegung (sogenannte Faktorisierung) oder Transformationen auf einfachere Grundgebiete dazu muss die Problemstellung wie auch die Lösung in algebraischer Weise repräsentiert werden, wofür man oft auch Vereinfachungen des Modells in Kauf nimmt (zum Beispiel Linearisierung, was in der Praxis oft eine Beschränkung auf kleine Bereiche oder Oszillationen bedeutet). Wir möchten in diesem Projekt solche algebraische Methoden zur Verfügung stellen, mit denen die Lösungsoperatoren direkt dargestellt, zerlegt und untersucht werden können. Die Methoden sind dabei auch ganz praktisch zu verstehen als abrufbare Computerprogramme, die wir im Rahmen eines entsprechenden Computeralgebra-Pakets zur Verfügung stellen wollen. Auf längere Sicht geht es dabei auch um die Entwicklung eines integrierten Tools, in dem numerische und algebraische Methoden mit modernen Visualisierungstechniken kombiniert werden können. In diesem Projekt wollen wir auch zwei konkrete Anwendungsbeispiele angehen: (1) Ein wichtiges Problem der Versicherungsmathematik besteht darin, das Risiko eines prämiengespeisten Versicherungskapitals angesichts der laufend zu begleichenden Schadenszahlungen abzuschätzen. Die Ruinwahrscheinlichkeit sowie viele weitere stochastische Parameter lassen sich aus der sogenannten Gerber-Shiu-Funktion ablesen, deren Berechnung wiederum auf ein Randwertproblem führt. Dieses haben wir in einem vereinfachten Modell bereits mit algebraischen Operatormethoden erfolgreich untersucht. Die Berücksichtigung von Steuerzahlungen führt allerdings zu einer komplizierteren Klasse von Differentialgleichungen, die wir erst durch die neuen Methoden dieses Projekts angehen können. (2) Eine typische Problemstellung der technischen Mechanik ist die Berechnung von Spannungszuständen in einer sogenannten Kirchhoff-Platte, also in einem bestimmten technischen Modell der elastischen Dehnung. Wir haben einen solchen Fall bereits unter vereinfachenden Symmetrieannahmen mit unseren Methoden behandelt, möchten jetzt aber das allgemeinere 2D-Problem mit den Werkzeugen dieses Projekts anpacken.

Die Modellierung technischer und ökonomischer Prozesse führt typischerweise auf Differenzialgleichungen, welche mittels diverser mathematischer Werkzeuge analysiert und gelöst werden - manche mit Fokus auf die verschiedenen strukturellen Beziehungen (insbesondere symbolische/algebraische Methoden), manche mit Fokus auf die konkreten Zahlen in den Modellen (hauptsächlich numerische/algebraische Methoden). Die effektivste Strategie ist natürlich, die Vorteile der beiden Zugänge zu vereinen. Obgleich dies in manchen Gebieten erreicht worden ist, bleibt die Fouriertransformation ein zentrales Werkzeug zur Handhabung linearer Differenzialgleichungen - eine wichtige Unterklasse - aber ist bislang praktisch ausschließlich im numerischen/algebraischen Bereich angewandt worden. Wir haben die erste symbolisch-algebraische Theorie der Fouriertransformation aufgebaut, als Basis für zukünftige Entwicklungen nicht nur für Differenzialgleichungen, sondern auch in anderen Gebieten der Mathematik wie etwa Signalverarbeitung, Kryptographie, Ökonometrie, Zahlentheorie, Statistik sowie in physikalischen Anwendungsbereichen wie etwa Akustik, Optik und Astrophysik. Der Aufbau der neuen Theorie ermöglicht es, mehrere Fliegen mit einer Klappe zu schlagen. Indem wir sie in einer passenden mathematischen Rahmentheorie von großer Allgemeinheit (Stichwort Pontryagin-Dualität) fundiert haben, können wir alle in der Praxis wesentlichen Varianten von Fourieroperatoren behandeln, insbesondere Fourierintegrale, Fourierreihen und diskrete Fouriertransformationen. Während Fourierreihen für periodische Signale (etwa Schallwellen in der Musik oder Lichtwellen in der Optik) verwendet werden, nützt man Fourierintegrale für aperiodische Phänomene (etwa das momentane Temperaturprofil eines Hochofens). In der digitalen Welt werden beide durch diskrete Fouriertransformierte ersetzt, wo man Signale durch endlich viele Werte repräsentiert. In all diesen Fällen kann dieselbe algebraische Theorie verwendet werden, um die Struktur des Signalraums und die Hierarchie seiner möglichen Erweiterungen zu studieren. Dies ist besonders wichtig, um zu aufzuklären, welche Fouriertransformierte man in geschlossener Form schreiben und damit im gegebenen Signalraum repräsentieren kann. Als ein interessantes Spinoff haben wir auch neue Resultate in einem verwandten Zweig der Algebra gefunden, in der sogenannten Kohomologietheorie der nilpotenten Gruppen, wo sich die Forschung auf die Identifikation der elementaren Bestandteile diverser algebraischer Strukturen wie Heisenberggruppen konzentriert. Eine der wichtigen Anwendungen der Forschung in diesem Projekt - und zwar unsere ursprüngliche Motivation - ist die Repräsentierung von Lösungsoperatoren (sogenannten Greenschen Operatoren) mittels Fouriertransformation. Unter Anwendung der in diesem Projekt entwickelten algebraischen Rahmentheorie ist es nunmehr möglich, das für diesen Zweck nötige algebraische Gewebe aufzubauen (den Operatorring oder Operatorköcher, nach der gängigen Terminologie). Das wäre ein wertvolles Thema für künftige Forschungsarbeit und Anwendungen.