Herleitung und Analysis von Kreuzdiffusionssystemen

Zahlreiche Anwendungen für Multikomponentensystems in der Physik, Chemie und Biologie können mittels partiellen Differentialgleichungen modelliert werden, die die Evolution der Teilchendichte, Temperatur, Geschwindigkeit etc. beschreiben. Beispiele sind ultrakalte Atome in optischen Gittern, Gasmischungen wie Luft und mischende chemische Reaktionen. Das Ziel ist das Verständnis des Verhaltens der partiellen Differentialgleichungen, die weit vom Gleichgewicht entfernt sind, wie Musterbildung und Konvergenz zum Equilibrium. Die Schwierigkeit ist der Multikomponentenaspekt, der zu gekoppelten Systemen mit manchmal unerwarteten Eigenschaften führt. In den letzten Jahren wurde ein signifikanter Fortschritt in der mathematischen Analysis dieser Systeme erzielt, teilweise basierend auf sogenannten Entropiemethoden. In der Physik ist die Entropie ein Maß für die molekulare Unordnung oder die Energieausbreitung; in der Mathematik kann sie als ein analytisches Werkzeug in vielen partiellen Differentialgleichungen verwendet werden. Das Auffinden solcher Funktionale für Diffusionssysteme ist eine sehr schwierige Aufgabe. In diesem Projekt wollen wir Entropien konstruieren, indem wir fundamentalere Modelle mit einfacher zu bestimmenden Entropien (oder freie Energie) untersuchen. Die Neuigkeit ist der systematische Ansatz, um Entropien in partiellen Differentialgleichungen zu konstruieren oder zu identifizieren. Die Projektaufgaben umfassen die rigorose Herleitung und Analysis von Energie-Transport-Gleichungen für ultrakalte Atome in optischen Gittern und für erweiterte Maxwell-Stefan-Systeme sowie von Grenzwerten schneller Reaktionen in chemischen Netzwerken.

Viele Anwendungen aus der Physik, Chemie und Biologie lassen sich mit nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen modellieren. Beispiele sind der Transport geladener Teilchen, die Kinetik chemischer Reaktionen und das Bevölkerungswachstum. Die Evolution der Teilchen dieser Systeme kann durch Reaktion, Diffusion und Kreuzdiffusion (dies bedeutet, dass die Teilchen durch die Diffusion anderer Teilchenarten beeinflusst werden) beschrieben werden. Ziel des Projekts ist es, vereinfachte partielle Differentialsysteme aus grundlegenderen Modellen herzuleiten und die Struktur der ursprünglichen und der vereinfachten Modelle zu untersuchen. Wenn diese Modelle durch thermodynamische Prinzipien beschrieben werden, besitzen sie eine Entropie, die ein Maß für die Unordnung in einem (physikalischen) System ist. Die Entropie kann als Werkzeug für die mathematische Analyse der partiellen Differentialgleichungen genutzt werden. Die langfristige Perspektive lautet, die Entropiestruktur in jedem Kreuzdiffusionssystem zu identifizieren, das aus fundamentalen Gleichungen abgeleitet wurde. In diesem Projekt haben wir die Erhaltung dieser Struktur in einer Reihe von Situationen untersucht, darunter Energie-Transportgleichungen in optischen Gittern, Maxwell-Stefan-Systeme für Gasgemische und Reaktions-Diffusionssysteme aus der chemischen Kinetik und dem Wachstum von Biofilmen. Wir waren in der Lage, einige Modelle auf mathematisch rigorose Weise abzuleiten und die zugehörigen, erhaltenen Entropiestrukturen zu identifizieren.