Diskrete Flächen mit vorgeschriebener mittlerer Krümmung

Diskrete Flächen werden bereits seit mehreren Jahrtausenden untersucht. Dabei treten theoretische und philosophische sowie anwendungsspezifische Fragestellungen auf. Vorallem in der Architektur und generell im Bauingenieurwesen treten diskrete Flächen, das heißt Flächen die wabenartig aus einzelnen Facetten zusammengesetzt sind, auf. Oft sind diese Facetten ebene Dreiecke, Vierecke oder andere Polygone. Eine Fläche, diskret oder glatt, tritt realisiert im dreidimensionalen Raum mit einer gewissen Krümmung auf. Wir interessieren uns in diesem Projekt um die sogenannte mittlere Krümmung. So hat eine Ebene z.B. eine mittlere Krümmung von 0 und eine Kugel mit Radius r eine mittlere Krümmung von 1/r. Ein großer Radius impliziert eine kleine Krümmung. In den vergangen Jahrzehnten wurden diskrete Analoga von verschiedenen Krümmungsbegriffen erforscht. Unter anderem gibt es einige Diskretisierungen der mittleren Krümmung. Das Faktum, dass es mehrere sinnvolle diskrete mittlere Krümmungsbegriffe gibt, verdeutlicht das Phänomen, dass der Prozess des Diskretisierens nicht eindeutig sein muss. Die Disziplin der Mathematik, die sich damit beschäftigt und in die das vorliegende Projekt eingebettet ist nennt sich Diskrete Differentialgeometrie. Eine naheliegende Fragestellung ist es eine gegebene diskrete Fläche zu betrachten und zu analysieren, wo sie sich wie sehr krümmt. Das Ziel dieses Projektes ist es nun aber genau die umgekehrte Frage zu stellen. Wir wünschen uns irgendeine beliebige Verteilung von Krümmungen, in unserem Fall von der mittleren Krümmung, und suchen nach einer diskreten Fläche, die genau diese Krümmung besitzt. In der glatten Theorie ist diese Frage bereits gut untersucht, wobei es auch hier noch offene Fragen gibt. In der diskreten Differentialgeometrie wurde dieses Problem bis jetzt vorallem nur an zwei Sonderfällen untersucht, die aber aus geometrischer Sicht sehr wichtig sind. Man kann sich die Frage stellen, wie denn eine Fläche, diskret oder glatt, aussieht, wenn die mittlere Krümmung überall 0 ist oder eine andere Konstante annimmt. Diese beiden Fälle treten in der Natur z.B. bei jener Fläche auf, die eine Seifenhaut in Gleichgewichtslage einnimmt. Wenn der Luftdruck auf beiden Seiten gleich groß ist, dann ist die mittlere Krümmung Null, ansonsten eben eine andere Zahl, aber konstant. Wir in unserem Projekt schreiben auch eine mittlere Krümmung vor, allerdings ist diese hier nicht konstant. Eine typische Fragestellung wäre die Folgende: Wir schreiben eine Funktion vor, die jedem Punkt im dreidimensionalen Raum einen Wert zuweist. Dies wird unsere vorgeschriebene mittlere Krümmung sein. Dann wählen wir eine geschlossene Kurve, die wir uns als Drahtschleife vorstellen können und suchen nach einer Fläche, die an den Enden an dieser Kurve eingespannt ist und die in allen Punkten dazwischen genau jene mittlere Krümmung hat wie der Wert der vorgeschriebenen Funktion an dieser Stelle.

Diskrete Flächen werden bereits seit mehreren Jahrtausenden untersucht. Dabei treten theoretische und philosophische sowie anwendungsspezifische Fragestellungen auf. Vor allem in der Architektur und generell im Bauingenieurwesen treten diskrete Flächen, das heißt Flächen die wabenartig aus einzelnen Facetten zusammengesetzt sind, auf. Oft sind diese Facetten ebene Dreiecke, ebene Vierecke oder andere ebene Polygone. Moderne Fertigungsmethoden machen es etwas einfacher auch Facetten zu produzieren, die nicht eben sind. Es gilt jedoch zu berücksichtigen, dass die Fertigung solcher doppelt gekrümmter Panele oft kostenintensiv und möglicherweise nicht nachhaltig ist. In den vergangen Jahrzehnten wurden diskrete Analoga von verschiedenen Krümmungsbegriffen erforscht. Das Faktum, dass es mehrere sinnvolle diskrete Krümmungsbegriffe gibt, verdeutlicht das Phänomen, dass der Prozess des Diskretisierens nicht eindeutig sein muss. Die Disziplin der Mathematik, die sich damit beschäftigt und in die das vorliegende Projekt eingebettet ist nennt sich "Diskrete Differentialgeometrie". Man kann sich die Frage stellen, wie denn eine Fläche, diskret oder glatt, aussieht, wenn zum Beispiel die mittlere Krümmung überall 0 ist oder eine andere Konstante annimmt. Diese beiden Fälle treten in der Natur z.B. bei jener Fläche auf, die eine Seifenhaut in Gleichgewichtslage einnimmt. Wenn der Luftdruck auf beiden Seiten gleich groß ist, dann ist die mittlere Krümmung 0, ansonsten eine andere Zahl, aber konstant. Eine typische Aufgabe in der Mathematik oder Geometrie ist es ein möglicherweise abstraktes glattes Objekt zu betrachten und gewisse damit in Verbindung stehende Größen zu berechnen, wie zum Beispiel Längen, Flächeninhalte, Volumina oder eben auch Krümmungen. Die selben Größen können auch für die oben beschriebenen diskreten Flächen berechnet werden. In unserem Fall kann man zum Beispiel diskrete Krümmungen berechnen. Es kann aber auch die umgekehrte Fragestellung eine Forschungsfrage sein. Nehmen wir an wir haben eine gegeben Eigenschaft gegeben wie zum Beispiel eine Krümmungsfunktion. Gibt es dann immer eine Fläche mit dieser gegebenen Krümmungsfunktion? In der sogenannten glatten Differentialgeometrie wurde diese Problemstellung bereits sehr genau untersucht wobei es immer noch offene Fragen gibt. Im Gebiet der diskreten Flächen wurde diese Fragestellung bis jetzt nur in wenigen Fällen gestellt. Eine weitere Problemstellung ist beispielsweise eine die sich Designer:innen stellen können. Wie soll eine doppelt gekrümmte Fläche modelliert werden, sodass die Formen, die zur Herstellung der einzelnen Panele benötigt werden, mehrfach verwendet werden können. Wir stellen dafür eine Methode zur Verfügung. Diskrete Strukturen wie die Netze von oben können bei Facadenteilen von gebauten Freiformflächen sichtbar auftreten wie zum Beispiel als Tragstruktur. Ein ästhetisches Erscheinungsbild solcher Ecken und Kantenstrukturen hängt oft von einer gleichmäßigen Verteilung der Winkel zwischen den Kanten ab. Wir haben zwei Methoden zur einfachen Erzeugung solcher konformen Netze vorgelegt. Eine Methode beruht auf der Lösung eines nichtlinearen Optimierungsproblems während die andere Methode solche Netze durch einen konformen Unterteilungsalgorithmus erzeugt.