Systemtheoretische Analyse und Reglerentwurf für PDEs

Die Analyse und Beeinflussung von Systemen wird zweckmäßig anhand mathematischer Modelle der zugrundeliegenden (physikalischen) Prozesse durchgeführt. Dynamische Prozesse lassen sich mithilfe sogenannter Differentialgleichungen (DGLn) beschreiben, wobei man hier gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen unterscheidet. Die Analyse für letztgenannte Systemklasse ist nun ein anspruchsvolles Gebiet im Rahmen der System- und Regelungstheorie und viele Ergebnisse, welche für Systeme, die durch gewöhnliche Differentialgleichungen beschrieben werden, bereits seit Jahrzehnten bekannt sind, konnten noch nicht auf die komplexere Klasse der partiellen DGLn übertragen werde. In diesem Projekt wollen wir hierzu einen Beitrag leisten und mithilfe von mathematischen Methoden einerseits Systemanalyse betreiben, das heißt formale Eigenschaften des dynamischen Systems charakterisieren, und des weiteren Regelgesetze entwerfen um den Prozessen ein gewünschtes Verhalten aufzuzwingen. In diesem Forschungsprojekt sollen vor allem differential-geometrische Methoden zum Einsatz kommen, jedoch streben wir ein interdisziplinäres Projekt an und sind somit an der Symbiose von mehreren mathematischen Disziplinen interessiert. Ausgehend von einem formalen Zugang mithilfe der genannten geometrischen Methoden, sollen unter anderem auch funktional-analytische Methoden ergänzend zum Einsatz kommen. In der Literatur findet man bereits Zugänge, welche einerseits formal (das heißt differential-geometrisch) motiviert sind, sowie Methoden die sich der Funktionentheorie bedienen, jedoch ist eine ganzheitliche Sicht zur Analyse von partiellen Differentialgleichungen aus System- und regelungstheoretischer Sicht nach Kenntnis des Antragstellers noch nicht in Betracht gezogen worden. Reglerentwürfe für partielle Differentialgleichungen sind nach heutigem Stand der Technik systematisch nur für sehr einfache Systeme möglich, und im Rahmen dieses Projektes ist es eines der Hauptziele eine auf Energieflüssen basierende Entwurfsmethode für partielle DGLn zu entwickeln. Zu diesem Zweck nutzen wir eine Systemdarstellung anhand welcher sich die energetischen Verhältnisse des Systems leicht ableiten lassen und wir versuchen nun, durch gezieltes Einwirken auf das System, diese Energieflüsse so zu beeinflussen, dass das System ein gewünschtes Verhalten zeigt. Diese Betrachtung der Energiebilanzen lässt sich mithilfe von formalen Methoden basierend auf differential-geometrischen Konzepten exzellent bewerkstelligen der mathematische Nachweis hingegen, dass das System nun ein entsprechendes Verhalten aufweist, verlangt die Einbeziehung funktional-analytischer Methoden.

Dynamische Prozesse lassen sich mithilfe sogenannter Differentialgleichungen (DGLn) beschreiben, wobei man hier gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen unterscheidet. Die Analyse für letztgenannte Systemklasse ist nun ein anspruchsvolles Gebiet im Rahmen der System- und Regelungstheorie. In diesem Projekt wurden vor allem differential-geometrische Methoden verwendet, um einerseits Systemeigenschaften zu charakterisieren und andererseits um gezielt Regler zu entwerfen. Die Reglerentwürfe, die in diesem Projekt analysiert wurden, basieren auf der Idee, die Energieflüsse so zu beeinflussen, dass das System ein gewünschtes Verhalten zeigt. Dies wurde nun systematisch für mechanische Systeme wir Balken oder Platten untersucht, wobei die Aktoatorik entweder am Rand (Kräfte oder Momente) oder im Inneren (z.B. durch Kraftdichten erzeugt durch piezo-elektrische Aktoren) eingreift. Diese Regelkonzepte benötigen aber auch Information über den aktuellen Zustand des Systems. Deshalb wurden im Rahmen dieser energiebasierten Betrachtung auch virtuelle Sensoren (Beobachter) entworfen, die dies bewerkstelligen. Dies ist für Systeme, welche durch partielle Differentialgleichungen beschrieben werden, hochgradig nicht-trivial - insbesondere der Nachweis, dass diese virtuellen Sensoren auch tatsächlich korrekte Schätzwerte der Systemgrößen liefern. Neben diesen Regler- und Beobachterentwürfen wurden aber auch grundlegendere Fragestellungen systemtheoretischer Natur betrachtet. Hierbei ging es um die Analyse von Systemklassen (hier partielle Differentialgleichungen) hinsichtlich der Frage, inwiefern für solche Systeme prinzipiell Regler, Beobachter oder Steuerungen entworfen werden können. Hierfür wurden unterschiedliche mathematische Konzepte herangezogen, wie zum Beispiel klassische und generalisierte Symmetriegruppen aber auch funktionentheoretische Konzepte. Letztere sind z.B. insbesondere für den Nachweis der exakten Erreichbarkeit eines Systems unverzichtbar. In diesem Zusammenhang ist auch das Konzept der Flachheit sehr nützlich, welches für den Entwurf von Steuerungen für einen unteraktuierten Balken benutzt wurde. Für partielle Differentialgleichungen ist das Konzept der Flachheit jedoch vorwiegend auf den linearen Fall beschränkt. Durch Diskretisierung bezüglich Ort und Zeit können partielle Differentialgleichungen aber immer auf Differenzengleichungen übergeführt werden. Für diese Systemklasse wurde im Rahmen dieses Projekts ein systematischer Test für die Eigenschaft der Flachheit entwickelt, welcher rechentechnisch um ein Vielfaches einfacher ist als alle zu diesem Thema bisher in der Literatur bekannten Methoden.