Dynamik, Geometrie und Arithmetik von Zifferndarstellungen

Die Darstellung von Zahlen ist so alt wie die menschliche Zivilisation und fasziniert Menschen seit tausenden Jahren. Der Fortschritt der Mathematik und der Computerwissenschaften führte zu allgemeineren und komplexeren Arten von Zahlendarstellungen und erforderte ein tieferes Verständnis für diese Darstellungen. Das gegenständliche Projekt verwendet Methoden aus verschiedenen Teilgebieten der Mathematik wie Dynamische Systeme, Geometrie und Zahlentheorie um das Verständnis von Zahlendarstellungen zu erweitern und zu vertiefen. In diesem Projekt werden unter Anderem sogenannte Kettenbrüche studiert. Diese Zahlendarstellungen sind nötig um Irrationalzahlen in optimaler Weise durch rationale Zahlen anzunähern. Vor achtzig Jahren fand Emil Artin heraus, dass diese Darstellungen erstaunliche Verbindungen zur hyperbolischen Geometrie der oberen Halbebene haben und als gewisse Schnitte von geodätischen Linien dieser Halbebene aufgefasst werden können. Diese Verbindung führte zu einem besseren Verständnis von Kettenbrüchen. Wir betrachten in diesem Projekt Verallgemeinerungen von Kettenbrüchen und setzen sie in Beziehung zu geodätischen Linien in höherdimensionalen hyperbolischen Räumen. In diesem Kontext treten neue Phänomene auf. So treten in natürlicher Weise fraktale Mengen auf, die Information über diese verallgemeinerten Kettenbrüche enthalten. Ein anderer Teil des Projekte beschäftigt sich mit einer fast fünfzigjährigen Vermutung aus dem Gebiet der Zahlentheorie die leicht zu formulieren aber sehr schwer zu beweisen ist: im Jahr 1968 fragte Gelfond, ob es unendlich viele Primzahlen mit gerader Ziffernsumme gäbe (z. B. 19 ist eine Primzahl mit gerader Ziffernsumme 1+9=10). Unter Verwendung schwieriger Methoden aus der Theorie der Exponentialsummen konnten Mauduit und Rivat diese Vermutung vor fünf Jahren beweisen. Es gibt jedoch natürliche und wichtige Arten von Zahlendarstellungen in deren Kontext diese Vermutung noch immer offen ist. Vor Kurzem konnte der Leiter dieses Projektes zusammen mit M. Madritsch ein neues Resultat über Exponentialsummen zeigen, das neues Licht auf die Vermutung für Zahlendarstellungen durch Summen von Fibonaccizahlen (sogenannte Zeckendorfentwicklungen) wirft. In diesem Projekt wollen wir dieses Ergebnis benutzen um die Zeckendorfentwicklung von Primzahlen näher zu studieren. In den vergangenen Jahrzehnten wurde eine Vielzahl neuer Arten von Zahlendarstellungen definiert und studiert. Obwohl diese Darstellungen in ganz verschiedener Art definiert wurden konnte der Leiter dieses Projektes zusammen mit seinen Koautoren durch die Erfindung sogenannter ``shift radix systems`` zeigen, dass viele dieser Zahlendarstellungen Spezialfälle ein und derselben Klasse von dynamischen Systeme sind. Diese dynamischen System sollen zusammen mit Fraktalen Mengen, die mit ihnen in natürlicher Beziehung stehen, näher untersucht werden.

Im Rahmen dieses Projektes konnten neue Ergebnisse im Bereich der Erforschung von Ziffernsystemen gegeben werden. Diese Objekte spielen sowohl in der Mathematik als auch in der Theoretischen Informatik eine große Rolle. Ein besonderer Schwerpunkt des Projektes betraf das Studium von Ziffernsystemen im Bereich der Theorie Dynamischer Systeme und Fraktale.