Borel Ideale und Filter

Das vorgeschlagene Projekt gehört zum Gebiet der Mengenlehre. Sein allgemeines Ziel ist, unser Verständnis von Borel Idealen zu vertiefen, nämlich ihre Kombinatorik, ihre Kardinalzahlinvarianten und ihr Verhalten unter Forcingerweiterungen. Ein Borel Ideal ist ein definierbarer Begriff von Kleinheit für Mengen von natürlichen Zahlen. Das naheliegendste Beispiel eines derartigen Begriffes ist gegeben durch die Familie aller endlichen Mengen, in anderen Worten, dieser Begriff erklärt eine Menge natürlicher Zahlen als klein genau dann, wenn sie endlich ist. Im allgemeinen ist ein Ideal eine Familie von Mengen natürlicher Zahlen (diese Mengen werden als klein oder vernachlässigbar betrachtet) mit den folgenden Eigenschaften: (i) alle endlichen Mengen gehören zur Familie, (ii) mit einer Menge gehören auch alle ihre Teilmengen zur Familie, (iii) die Vereinigung zweier Mengen in der Familie gehört wieder zur Familie, und (iv) die Menge aller natürlicher Zahlen gehört nicht zur Familie. Zahlreiche Beispiele von Idealen entstammen klassischen Resultaten der Kombinatorik, Analysis, Masstheorie, Zahlentheorie etc., und die meisten von ihnen haben schöne, leicht zugängliche Definitionen - hierauf bezieht sich die Qualifikation Borel. Das Studium dieser Ideale hat sich in den letzten 20 Jahren zu einem intensiv diskutierten Forschungsthema entwickelt. Vom genuinen Interesse an Idealen einmal angesehen, zeigt ihr Studium viele Querverbindungen zu klassischen Gebieten der kombinatorischen und deskriptiven Mengenlehre auf. Dieses Projekt hat zum Ziel, einige der wichtigsten solche Querverbindungen betreffenden Fragen zu beantworten. Genauer gesagt sind die beiden Hauptziele dieses Projekts die folgenden: (1) Zu verstehen, wie sich Borel-Ideale unter Forcingerweiterungen verhalten. Forcing ist das mächtigste Werkzeug um relative Konsistenzbeweise zu führen, in anderen Worten, um zu zeigen dass bestimmte rein mathematische Aussagen von den Axiomen der Mengenlehre unabhängig sind. Die Charakterisierung von Forcing Zerstörbarkeit von Idealen und ihrer Varianten wie Dominierung von Idealen und bestimmter Überdeckungseigenschaften ist wesentlich für die Arbeit über die Kardinalzahlinvarianten dieser Ideale. (2) Kardinalzahlinvarianten von Borel-Idealen mit klassischen Kardinalzahlinvarianten der reellen Zahlen zu vergleichen. Grob gesagt sind das Idealen zugeordnete unendliche Zahlen, die bestimmte Eigenschaften des Objektes kodieren, ähnlich der Fläche oder dem Durchmesser eines konvexen Gebiets in der Ebene. Das Studium der bis heute nicht vollständig verstandenen (Un)gleichungen zwischen diesen Kardinalzahlen und klassischen Kardinalzahlinvarianten eröffnet neue Wege, die letzteren zu charakterisieren.

Das Projekt befasste sich mit gewissen Begriffen von Kleinheit, nämlich Idealen natürlicher Zahlen, ihrer Kombinatorik und ihrer Kardinalzahlinvarianten. Beispielsweise können wir eine Menge A von natürlichen Zahlen als klein betrachten, wenn sie endlich ist, oder wenn A die Dichte null hat (im Grenzwert), oder wenn die Summe einer im vorhinein fixierten Folge von reellen Zahlen über A endlich ist. Die Hauptergebnisse des Projektes sind die folgenden. 1) Die Entdeckung neuer Zusammenspiele zwischen Idealen und Banachräumen, eine der wichtigsten Strukturen der Funktionalanalysis (Co-Author: Piotr Borodulin-Nadzieja, Universität Wroclaw): wir zeigten mehrere Symmetrien zwischen den Theorien schöner Ideale und von Banachräumen. Ausserdem erforschten wir einen Spezialfall, das Zusammenspiel zwischen der Kombinatorik von Familien endlicher Mengen, topologischen Eigenschaften von mit diesen Familien assoziierten Banachräumen, und der Komplexität der Ideale, die von kanonischen Basen in diesen Räumen generiert werden. Wir geben (a) neue Beispiele sowohl von Banachräumen als auch von schönen Idealen, (b) eine neue Charakterisierung eines breit erforschten Begriffs von Präkompaktheit, und (c) Anwendungen zur Weiterentwicklung klassischer Resultate der infinitären Kombinatorik. 2) Wir haben die auf Arbeiten des Co-Authors und S. Shelah zurückgehenden Konsistenzresultate zur Almost-Disjointness Zahl zu Idealversionen dieser Zahl verallgemeinert, und zwar für zwei wichtige Klassen von Idealen. 3) Neue kombinatorische Charakterisierungen verschiedener Begriffe der Zerstörung von Idealen in klassischen Forcingerweiterungen (Co-Author: Lyubomyr Zdomskyy, Universität Wien): unter anderem geben wir eine simple kombinatorische Charakterisierung davon, wann real forcing ein Borelideal in einem starken Sinn zerstören kann, und wann die zwei kanonischsten mit dem Ideal assoziierten Forcingnotionen dies tun.