Geometrische Transport-Gleichungen und der nicht-vakuum Einstein-Fluss

Die kürzlich erfolgte, bahnbrechende Entdeckung von Gravitationswellen hat einmal mehr deutlich gemacht, wie präzise Einsteins Allgemeine Relativitätstheorie die Geometrie unserer Raumzeit beschreibt. Man kann daher mit grosser Wahrscheinlichkeit davon ausgehen, dass auch weitere Vorhersagen aus Einsteins Gleichungen in der Zukunft durch ebenso spektakuläre Experimente nachgewiesen werden. Dies unterstreicht einmal mehr die Bedeutung des mathematischen Studiums der Allgemeinen Relativitätstheorie und verwandter Gebiete. Das vorgeschlagene Projekt widmet sich dem mathematischen Studium eines Systems bestehend aus Einsteins Gleichungen gekoppelt mit der sogenannten Vlasov Gleichung dem Einstein-Vlasov System. Dieses System beschreibt Ensembles von Teilchen, die sich auf idealisierten Bahnen bewegen ohne zu kollidieren und nur durch die Gravitation wechselwirken. Diese Annahmen sind sehr gut vereinbar mit Beobachtungen unseres Universums auf grossen Skalen: Galaxien und Galaxienhaufen bewegen sind tatsächlich beinahe kollisionsfrei und unterliegen fast nur Effekten der Gravitation. Es ist zu erwarten, dass das Studium des Einstein-Vlasov Systems Aufschluss gibt über das Verhalten unseres Universums auf grossen Skalen. Im Projekt wollen wir uns gewissen Fragen widmen, die wir im Folgenden beschreiben. Ewige Expansion oder Kollaps? Es ist bekannt, dass unser Universum expandiert. Mathematische Modelle legen allerdings nahe, dass es sich dabei lediglich um eine zeitweise Expansion handeln könnte, die an einem gewissen Punkt ihr Maximum erreicht und dann kollabiert, also eine Kontraktion durchläuft und schliesslich in einem Big Crunch, dem Gegenteil eines Big Bang, endet. Im alternativen Szenario endet die Expansion nie und das Universum dehnt sich für alle Zeiten aus. Es bestehen interessante Vermutungen über einen Zusammenhang der topologischen Gestalt unseres Universums und diesem Verhalten. Ein Ziel des Projektes ist es, diesen Zusammenhang für das Einstein-Vlasov System zu untersuchen und rigorose Aussagen darüber zu beweisen. Natur von Singularitäten. Es ist bekannt, dass unser Universum in einem sogenannten Big Bang entstand. Im Sinne der Einstein Gleichungen ist dies eine Singularität aus der heraus sich das Universum begonnen hat auszudehnen. Eine grundlegende Frage zu derartigen Singularitäten ist es, ob die Raumzeit an dieser Stelle tatsächlich endet oder ob es möglich ist sie durch diese hindurch fortzusetzen. Eine Methode um zu zeigen, dass die Raumzeit tatsächlich in einer Singularität endet wäre es nachzuweisen, dass die Krümmung ebenjener an dieser Stelle divergiert, also unendlich gross wird. Ein weiteres Ziel der Projektes ist es, ebenjenen Effekt für eine Klasse von Modellen rigoros nachzuweisen. Stabilität von Modellen. Eine wichtige Eigenschaft von Modellen zur Beschreibung des Universums ist ihre Stabilität. Damit ist gemeint, dass leichte Abweichungen von den Anfangsbedingungen des Modells wieder zu einem Modell führen, dessen globale Geometrie sich nur wenig vom ursprünglichen Modell unterscheidet. Eigenschaften dieser Art im Kontext des Einstein-Vlasov Systems für verschiedene bekannte Modelle von Raumzeiten nachzuweisen ist ein weiteres Ziel des beschriebenen Projektes.

Die Einstein Gleichungen beschreiben das dynamische Verhalten des Gravitationsfeldes in der Zeit. Verallgemeinerte Systeme, wie das Einstein-Vlasov system modellieren das Gravitationsfeld in Gegenwart von Materie, die sich im Gravitationsfeld bewegt und dieses selbst erzeugt. Das Einstein-Vlasov System ist ein System dieser Art, welches Ensembles von kollisionsfreien Teilchen beschreibt, die über Gravitation wechelwirken. Das rigorose Studium von Lösungen dieser Gleichungen beschreibt verschiedene Raumzeiten - zum Einen isolierte gravitative Systeme als Modelle für zB Galaxien oder Galaxiehaufen und zum Anderen kosmologische Modelle zur Beschreibung des Universums im Ganzen. In diesem Forschungsprojekt wurden verschiedene Theoreme zum Langzeitverhalten von Lösungen des Einstein-Vlasov systems bewiesen. Insbesondere wurde die Stabilität zweier fundamentaler Modelle in der Relativitätstheorie gezeigt: des Minkowski Raumes sowie des Milne Modells. Stabilität besagt in diesem Kontext, dass leichte Störungen von Anfangsdaten in der Nähe dieser Modelle im Laufe des zeitlichen Entwicklung der Lösung abklingen und sich das System wieder dieser Ausgangslösung annähert. Insbesondere besagen diese Resultate, dass die entsprechenden Modelle geeignet sind um realistische physikalische Systeme zu modellieren, da sie robust gegenüber leichten Störungen sind. Zur Erlangung der Resultate wurden grundlegende mathematische Methoden zur Analyse der betreffenden Gleichungen entwickelt und verfeinert und schliesslich in Kombination auf die entsprechenden Probleme angewendet. Neben diesen Hauptresultaten wurden vergleichbare Resultate für weiter Materiemodelle, wie Klein-Gordon Felder, Flüssigkeiten sowie Kaluza-Klein Felder aus der String Theorie, beweisen. Im Rahmen der homogenen Kosmologie wurden einzelne sogenannte Materie-dominierte Lösungen konstruiert und analysiert, bei denen die Gegenwart von Materie starke Abweichungen der üblichen Vakuumgeometrie der Raumzeit erzeugen.