Forcing Axiomen und Kompaktheitsprinzipen ohne MA

Inhalt des Forschungsvorhabens In diesem Projekt wollen wir die Eigenschaften von zwei relativ neuen Axiomen studieren: YPFA und Rados Vermutung (RC). Beide Prinzipien sind unabhängig von ZFC, den traditionellen Axiomen der Mengenlehre, und haben bereits einige interessante und tiefe Implikationen, ähnlich wie das Proper Focing Axiom (PFA) oder Martins Maximum (MM). Im Gegensatz zu PFA und MA implizieren RC und YPFA allerdings nicht Martins Axiom. Das ist ein neuer Effekt, und daher halten wir die Untersuchung beider Axiome für vielversprechend um ein besseres Verständnis der Mengenlehre zu erlangen. Hypothesen Wir möchten auf unsere Expertise mit RC aufbauen und weitere Folgerungen daraus erhalten, die bereits aus PFA oder MM abgeleitet wurden. Zum Beispiel wollen wir untersuchen ob jede maximale fast disjunkte Folge eine Lusin Folge enthält. YPFA ist eine schwache Form von PFA. Wir möchten überprüfen, ob YPFA ähnliche Folgerungen wie PFA und Rados Vermutung hat; wie zum Beispiel die Negation bestimmter Square- principles oder Fragen in Bezug auf Baum-Eigenschaften. Diese Fragen sind ein Ausgangspunkt, das allgemeine Ziel ist, ein tieferes Verständnis der beiden Axiome zu erlangen. Methoden Wir werden die reichhaltigen Methoden der Mengenlehre verwenden, die für Beweise aus Forcing Axopmen zur Verfügung stehen, beginnend vom Pressing Down Lemma auf Stationäre Menge, über die Anwendung von elementaren Submodellen, walks auf Ordinalzahlen usw. Es ist auch möglich, dass einige der vermuteten Folgerungen nicht gelten. Dann müssen wir entscprechende Modelle von Rados Conjecture oder YPFA und der Negation der Folgerung erzeugen. Dazu verwenden wir die Forcing Methode. Die Verbreitung der Ergebnisse soll durch Publikationen in internationalen wissenschaftlichen Zeitschriften und Präsentationen auf internationalen Kongressen stattfinden. Was ist das Neue/Besondere daran? Diese beiden Axiome, Rados Vermutung und YPFA, haben folgende Besonderheit: Ähnlich wie die traditionellen Forcing Axiome wie PFA oder MM (die Verallgemeinerungen von Martins Axiom sind) haben sie interessante Folgerungen. Doch weder Rados Vermutung noch YPFA impliziert Martins Axiom. Das ist ein gänzlich neuer Effekt, der genaueres Studium verdient.Ein besseres Verständnis dieser neuen Axiome könnte Anwendungen in anderen Bereichen der Mathematik haben, wie Topologie, Algebra oder Analysis (da es derartige Anwendungen ja auch für PFA oder MM gibt).

In einer gemeinsamen Arbeit mit Brendle und Hrusak haben wir einige Ergebnisse zwischen parametrisierten Diamanten, transfiniten Spielen und invarianten Kardinälen ermittelt. Wir haben auch mit starken Prinzipien gearbeitet, die große Kardinäle wie YPFA und die P-Ideal Dichotomie erfordern. Mit L. Wu haben wir bewiesen, dass die P-Ideale Dichotomie die Negation einer zweikardinalen Version des Quadratprinzips für abzählbare Familien impliziert. Außerdem haben wir mit D. Chodounsky bewiesen, dass YPFA impliziert, dass der zweite unzählbare Kardinal die Baumeigenschaft besitzt. Schließlich haben wir mit V. Di Monte einige konsistente Ergebnisse bezüglich parametrisierter Versionen von Rados Vermutung