Nichtglatte Optimierungsaufgaben: Splitting und Dynamik

Eine Vielzahl an Aufgabenstellungen lässt sich mithilfe mathematischer Modellierungs- und Regularisierungstechniken auf strukturierte Optimierungsaufgaben zurückführen. Das Ziel dieses Projektes ist die Untersuchung von konvexen/ nichtkonvexen und nichtglatten Optimierungsaufgaben, die man mithilfe von Splitting-Verfahren lösen möchte. Das wichtigste Merkmal dieses Verfahrens ist die Eigenschaft, dass im Laufe der Implementierung, alle Teile der Modellierung (Funktionen und Operatoren) getrennt auftreten und einzeln ausgewertet werden. Das Projekt hat zwei Hauptteile: Untersuchungen von strukturierten nichtglatten Optimierungsaufgaben mithilfe von Proximal-type Splitting-Verfahren und die Analyse des stetigen Falls, wobei die Optimierungsaufgabe mithilfe von Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung untersucht wird. Wir beginnen mit der Untersuchung von Konvergenzraten und Beschleunigungstechniken für Splitting-Verfahren, die für die Lösung von äußerst strukturierten und komplexen nichtglatten Optimierungsaufgaben bestimmt sind. Unsere Absicht ist den aktuellen Stand der Beschleunigungstechniken auf kompliziertere Aufgabenstellungen zu erweitern. Die Motivation kommt von konkreten Anwendungen, wo die Modellierung zu strukturierten und komplexen Optimierungsaufgaben führt, wobei insbesondere Kompositionen mit linearen Operatoren vorkommen. Ein Hauptziel dieses Projektes ist es, die Beschleunigung und die Konvergenzraten, die für das FISTA-Verfahren bekannt sind, auf äußerst strukturierte und komplexe Optimierungsaufgaben zu erweitern. Positive Ergebnisse in diese Richtung können die aktuellen Anwendungen aus der Literatur bedeutend verbessern. Darüber hinaus wollen wir auf den stetigen Fall eingehen, wobei Differentialinklusionen und Gleichungen mit zeitabhängigen Operatoren/Funktionen eine bedeutende Rolle spielen. Die wichtigste Anwendung in diesem Bereich ist das sogenannte sweeping process, betrachtet von Moreau in der Untersuchung von Evolution Problems in der Newton`sche Mechanik. Die theoretischen Erkenntnisse sollen bei konkreten Anwendungen bestätigt werden. Wir beginnen mit numerischen Experimenten bei verschiedenen Aufgaben der Bildverarbeitung, wobei Entrauschen und Schärfen von Bildern unserer Ausgangspunkt ist. In Folge gehen wir auf die Rekonstruktion fehlender Bildanteile ein. Ferner planen wir Anwendungen im Bereich der maschinellen Klassifikation von Bildern, Signalverarbeitung, Zerlegung von Videostreams, Clusterbildung und Netzwerkkommunikation.

Eine Vielzahl an Aufgabenstellungen lässt sich mithilfe mathematischer Modellierungs- und Regularisierungstechniken auf strukturierte Optimierungsaufgaben zurückführen. Das Ziel dieses Projektes ist die Untersuchung von konvexen/ nichtkonvexen und nichtglatten Optimierungsaufgaben, die man mithilfe von Splitting-Verfahren lösen möchte. Das wichtigste Merkmal dieses Verfahrens ist die Eigenschaft, dass im Laufe der Implementierung, alle Teile der Modellierung (Funktionen und Operatoren) getrennt auftreten und einzeln ausgewertet werden. Das Projekt hat zwei Hauptteile: Untersuchungen von strukturierten nichtglatten Optimierungsaufgaben mithilfe von Proximal-type Splitting-Verfahren und die Analyse des stetigen Falls, wobei die Optimierungsaufgabe mithilfe von Differentialgleichungen erster und zweiter Ordnung untersucht wird. Wir haben uns der Untersuchung von Konvergenzraten und Beschleunigungstechniken für Splitting-Verfahren gewidmet, die für die Lösung von strukturierten und komplexen nichtglatten Optimierungsaufgaben bestimmt sind. Die Motivation kommt von konkreten Anwendungen, wo die Modellierung zu strukturierten und komplexen Optimierungsaufgabem führt, wobei insbesondere Kompositionen mit linearen Operatoren vorkommen. Ein Hauptziel war, die Beschleunigung und die Konvergenzraten, die für das FISTA-Verfahren bekannt sind, auf strukturierte und komplexe Optimierungsaufgaben zu erweitern. Positive Ergebnisse in diese Richtung haben die aktuellen Anwendungen aus der Literatur bedeutend verbessert. Darüber hinaus haben wir den stetigen Fall betrachtet, wobei geeignete Differentialinklusionen und Gleichungen für Optimierungsaufgaben untersucht wurden. Beschleunigte Methoden im Sinne von Nesterov (und deren Diskretisierung) spielen eine wichtige Rolle in diesem Zusammenhang. Die theoretischen Erkentnisse wurden bei konkreten Anwendungen bestätigt. Wir erwähnen die numerischen Experimenten bei verschiedenen Aufgaben der Bildverarbeitung, wobei Entrauschen und Schärfen von Bildern unserer Ausgangspunkt ist. In Folge gehen wir auf die Rekonstruktion fehlender Bildanteile ein. Außerdem gibt es Anwendungen im Bereich der maschinellen Klassifikation von Bildern, Signalverarbeitung, Zerlegung von Videostreams, Clusterbildung und Netzwerkkommunikation.