Grassmann Cluster Algebren und Quantengruppen

Das vorliegende Projekt ist in der reinen Mathematik angesiedelt, und zwar im Gebiet der Darstellungstheorie. Die Darstellungstheorie studiert abstrakte algebraische Strukturen, indem sie ihre Elemente als lineare Transformationen von Vektorräumen auffasst. Eine Darstellung beschreibt die Elemente eines algebraischen Objektes durch Matrizen und seine algebraischen Operationen durch Matrixadditionen und -multiplikationen. Die Darstellungstheorie wird so zum effizienten Werkzeug, da sie Problemstellungen aus der abstrakten Algebra in gut zugängliche Fragestellungen der linearen Algebra übersetzt. Zu den algebraischen Objekte, die auf diese Weise dargestellt werden können, gehören Gruppen, assoziative Algebren und Lie Algebren. Eine der wichtigsten Klassen von assoziativen Algebren sind Cluster Algebren. Cluster Algebren sind konstruktiv definierte kommutative Ringe mit ausgezeichneten Erzeugenden (Cluster Variablen), die in überlappende Mengen (Cluster) der gleichen endlichen Kardinalität (Rang) gruppiert sind. Unter diesen Algebren befinden sich Koordinatenringe vieler algebraischer Varietäten, die eine äusserst wichtige Rolle in der Darstellungstheorie, der Invariantentheorie, im Studium totalen Positivität, usw. spielen. So besitzen zum Beispiel homogene Koordinatenringe von Grassmanschen, Schubert Varietäten und andere verwandte Varietäten die Struktur einer Cluster Algebra. Seit der Begründung der Theorie der Cluster Algebren haben sich eine Reihe von spannenden Verbindungen und Anwendungen gefunden zu andern Gebieten herauskristallisiert. Die neuesten Entwicklungen in Lie-Theorie und der höheren Darstellungstheorie haben neuartige Perspektiven eröffnet. Das vorliegende Projekt ist inspiriert von den Verbindungen zwischen der Darstellungstheorie von symmetrischen Gruppen und derjenigen von Kac-Moody Algebren, und von den erstaunlichen neuen Verbindungen zwischen kanonischen Basen von Quantengruppen und Cluster Algebren, die viele Bereiche der Mathematik verknüpfen. Um mit solch vielfältigen Familien von Algebren arbeiten zu können, beabsichtigen wir, darstellungstheoretische, kombinatorische, homologische, geometrische und rechnergestützte Methoden zu verwenden. Dieser Ansatz vereint klassische Methoden ebenso wie neue Methoden, die der Theorie der Kac- Moody Algebren, Quantengruppen und Grassmann Cluster Algebren entstammen. Unsere Wahl erscheint uns äusserst vielversprechend, unter anderem, da die gewählten Methoden über das Potential verfügen, innerhalb von kurzer Zeit zu überzeugenden Resultaten zu führen. Das Ziel unseres Projektes ist es, die Struktur der Theorie von Algebren, die die Grassmannschen Cluster Algebren kategorifisieren, beizutragen. Insbesondere werden wir die Struktur der maximale Cohen-Macaulay-Module und graduierte Strukturen auf diesen Algebren studieren, sowie Singularitäten der quadratischen Formen erforschen, die zu den affinen Lie-Algebren von gewissen Graphen assoziiert sind, und ihre Verbindungen zu kanonischen Basen von Grassmannschen Cluster Algebren.

Grassmann Cluster Algebren und Quantengruppen Das vorliegende Projekt war in der reinen Mathematik angesiedelt, und zwar im Gebiet der Darstellungstheorie. Die Darstellungstheorie studiert abstrakte algebraische Strukturen, indem sie ihre Elemente als lineare Transformationen von Vektorräumen auffasst. Eine Darstellung beschreibt die Elemente eines algebraischen Objektes durch Matrizen und seine algebraischen Operationen durch Matrixadditionen und -multiplikationen. Die Darstellungstheorie wird so zum effizienten Werkzeug, da sie Problemstellungen aus der abstrakten Algebra in gut zugängliche Fragestellungen der linearen Algebra übersetzt. Zu den algebraischen Objekte, die auf diese Weise dargestellt werden können, gehören Gruppen, assoziative Algebren und Lie Algebren. Eine der wichtigsten Klassen von assoziativen Algebren sind Cluster Algebren. Cluster Algebren sind konstruktiv definierte kommutative Ringe mit ausgezeichneten Erzeugenden (Cluster Variablen), die in überlappende Mengen (Cluster) der gleichen endlichen Kardinalität (Rang) gruppiert sind. Unter diesen Algebren befinden sich Koordinatenringe vieler algebraischer Varietäten, die eine äusserst wichtige Rolle in der Darstellungstheorie, der Invariantentheorie, im Studium totalen Positivität, usw. spielen. So besitzen zum Beispiel homogene Koordinatenringe von Grassmanschen, Schubert Varietäten und andere verwandte Varietäten die Struktur einer Cluster Algebra. Seit der Begründung der Theorie der Cluster Algebren haben sich eine Reihe von spannenden Verbindungen und Anwendungen gefunden zu andern Gebieten herauskristallisiert. Die neuesten Entwicklungen in Lie-Theorie und der höheren Darstellungstheorie haben neuartige Perspektiven eröffnet. Unsere Projekt war von den Verbindungen zwischen der Darstellungstheorie von symmetrischen Gruppen und derjenigen von Kac-Moody Algebren, und von den erstaunlichen neuen Verbindungen zwischen kanonischen Basen von Quantengruppen und Cluster Algebren, die viele Bereiche der Mathematik verknüpfen inspiriert. Um mit solch vielfältigen Familien von Algebren arbeiten zu können, haben wir, darstellungstheoretische, kombinatorische, homologische, geometrische und rechnergestützte Methoden verwendet. Dieser Ansatz vereint klassische Methoden ebenso wie neue Methoden, die der Theorie der Kac-Moody Algebren, Quantengruppen und Grassmann Cluster Algebren entstammen. Unsere Wahl erscheint uns äusserst vielversprechend, unter anderem, da die gewählten Methoden über das Potential verfügen, innerhalb von kurzer Zeit zu überzeugenden Resultaten zu führen. Das Ziel unseres Projektes war, die Struktur der Theorie von Algebren, die die Grassmannschen Cluster Algebren kategorifisieren, beizutragen. Insbesondere haben wir die Struktur der maximale Cohen-Macaulay-Module und graduierte Strukturen auf diesen Algebren studiert, sowie Singularitäten der quadratischen Formen erforscht, die zu den affinen Lie-Algebren von gewissen Graphen assoziiert sind, und ihre Verbindungen zu kanonischen Basen von Grassmannschen Cluster Algebren. Bibliographie: 1. K. Baur, D. Bogdanic, A. G. Elsener, Cluster Categories From Grassmannians and Root Combinatorics, Nagoya Mathematical Journal, 1-33, (2019). 2. K. Baur, D. Bogdanic, A. G. Elsener, J-R. Li, Rigid Indecomposable Modules in Grassmannian Cluster Catgories, in preparation. 3. K. Baur, D. Bogdanic, A. G. Elsener, J-R. Li, Higher Rank Indecomposable Modules for Grassmannian Cluster Algebras, in preparation. 4. K. Baur, D. Bogdanic, A. G. Elsener, A. Martsinkovsky, Cohen-Macaulay Approximations for Grassmannian Cluster Algebras, in preparation.