Optimale Formen von Kristallgrenzen

Die Analyse von Kristallgrenzen ist entscheidend für die Planung, Herstellung und Anwendung moderner Materialien. Für eine Vielzahl von Erscheinungen, die von mechanischen bis elektrischen und von magnetischen bis optischen reichen, ist das Auftreten von Kristallgrenzen charakteristisch. Das Verständnis und die Kontrolle solcher Grenzen sind dann wichtig, um die außergewöhnlichen Eigenschaften von Nanostrukturen für die Entwicklung neuer Technologien zu nutzen, wie etwa Elektronik, Solarzellen und 3D-Druck. Dieses Projekt zielt darauf ab, durch analytische Validierung verschiedener, in der Physik eingeführter Modelle Fortschritte im Verständis von Kristallgrenzen zu erzielen. Der Schwerpunkt liegt dabei auf der mikroskopischen Rechtfertigung der Wulff-Form von Kristallen und auf der Morpholgie von Kristallgrenzen, insbesondere Korngrenzen, Oberflächen von Hohlräumen und dünnen Schichten. Eine besondere Betonung wird auf der grundlegenden Multiskalennatur des Problems liegen. Wir suchen nach kristallinen Grundzuständen auf der Mikroskala, zeigen die Entstehung optimaler Formen auf der Makroskala und schätzen die Abweichungen von der optimalen Form auf der Mesoskala. Um die Multiskalennatur des Problems zu untersuchen, werden wir sowohl diskrete als auch kontinuierliche elastische Modelle behandeln. Mittels Variationsrechungund der Kombination verschiedener Techniken aus Kombinatorik, Geometrieoptimierung, Partiellen Differentialgleichungen und Geometrischer Maßtheorie werden neue Methoden, die bereits durch vielversprechende, verläufige Ergebnissen getestet wurden, weiterentwickelt werden. Die Bedeutung des Projekts liegt einersetis im neuen Verständnis theoretischer Probleme und andererseits in der Anwendung auf die Gestaltung von Mikrostrukturen. Neben der Einführung neuartiger mathematischer Methoden wird das Projekt zu neuen Entwicklungen in der Physik und in den Materialwissenschaften beitragen. Darüber hinaus wird ein internationales Forschungsnetzwerk weiter gestärkt werden, besonders in Österreich, Italien und den USA, mit der Fakultät für Mathematik an der Universität Wien als Mittelpunkt.

Ziel des Projekts ist es, das Verständnis der Mechanismen zu verbessern, die sowohl die Morphologie als auch die Instabilitäten hervorrufen, die durch die Grenzen von Kristallen und die Grenzflächen zwischen kristallinen Materialien entstehen, durch die Einführung und analytische Validierung von Variationsmodellen im Rahmen von sowohl molekulare als auch Kontinuumsmechanik. Die Charakterisierung energetisch optimaler kristalliner Morphologien hat sich als entscheidend für die Gestaltung, Verarbeitung und Nutzung von Nanostrukturen für die Entwicklung neuer Technologien wie Elektronik der nächsten Generation, Oxidbatterien und 3D-Druck erwiesen, da eine Vielzahl von Phänomenen, von mechanischen bis hin zu mechanischen, reichen zu elektronisch und von magnetisch zu optisch, werden stark durch das Vorhandensein von Grenzflächen beeinflusst. Durch die Bewegung im Rahmen der Variationsrechnung ermöglicht das Projekt die Charakterisierung kristalliner Grenzflächen als Minima von Konfigurationsenergien, optimal im Hinblick auf geeignete diskrete isoperimetrische Probleme und Lösungen von Gradientenflüssen. Darüber hinaus werden bei dem Bestreben, den Multiskalenaspekt der Kristallisation zu berücksichtigen, sowohl diskrete als auch Kontinuumsmodelle berücksichtigt. Auf der mikroskopischen Ebene liegt das Hauptaugenmerk auf der Suche nach kristallinen Grundzuständen, auf der mesoskopischen Ebene auf der mikroskopischen Begründung kristalliner Wulff-Formen und auf der Auswertung der Fluktuationen um solche optimalen Formen und schließlich auf der makroskopischen Ebene auf der Charakterisierung der Profile und Entwicklung dünner Filme und Kristallhohlräume. Die Auswirkungen des Projekts hängen nicht nur mit den grundlegenden theoretischen Fragen zusammen, die es inspiriert haben, sondern auch mit den erzielten Fortschritten in der mathematischen Modellierung in verschiedenen Umgebungen, die langfristig für technologische Anwendungen relevant sind. Zu diesen Einstellungen gehören unterstützte Nanostrukturen, epitaktisch gespannte Dünnfilme und magnetoelastische Filme. Zunächst wurde ein mathematischer Rahmen bereitgestellt, der die Existenz von Minimierern in all diesen Umgebungen garantieren kann, dann wurde ein einheitliches Modell eingeführt, das die gleichzeitige Behandlung aller Minimierer ermöglicht, und schließlich wurde ein solches einheitliches Modell auf die Mehrphasenumgebung in erweitert Vorhandensein sowohl kohärenter als auch inkohärenter Schnittstellen zwischen den Phasen. Darüber hinaus wurde eine mikroskopische Begründung der Variationsmodelle für die Festkörperbenetzung und -entnetzung, für die Winterbottom-Formen und für epitaktisch gespannte Dünnfilme bereitgestellt, ausgehend von ordnungsgemäß eingeführten atomistischen Modellen, die die atomistischen Zweikörperwechselwirkungen zwischen Filmatomen berücksichtigen und zwischen Film- und Substratatomen durch einen formalen Übergang vom diskreten zum Kontinuum, der durch Gamma-Konvergenz durchgeführt wird. Als Ergebnis der Projektuntersuchungen wurden schließlich die folgenden klassischen Gesetze analytisch validiert: das Young-Dupré-Gesetz für kristalline Filme, das N^3/4-Gesetz für die Fluktuation atomarer Grundzustände um die klassische Wulff-Form für 2- und 3-dimensionale Einstellungen und die Cauchy-Born-Regel für Kohlenstoffnanoröhren.