Forcing-Methoden: Creatures, Produkte und Iterationen

Der Fokus des Projekts liegt auf Forschung in Mengenlehre, einem Teilgebiet der mathematischen Logik. In der Mengenlehre beschäftigt man sich mit Kardinalitäten das sind Maße für die Größe unendlicher Mengen. Wir interessieren uns insbesondere für die Menge aller reellen Zahlen, und für Teilmengen dieser Menge. Viele Fragen nach Eigenschaften dieser Mengen (etwa im Zusammenhang mit dem Lebesgue-Maß) können mit den üblichen mengentheoretischen Axiomen nicht beantwortet werden; die Forcing-Methode erlaubt es, mengentheoretische Universen zu konstruieren, in denen die Antworten auf diese Fragen je nach Bedarf positiv oder negativ ausfallen können. In diesem Projekt geht es darum, die Forcing-Methode weiter zu entwickeln, um einerseits neue mengentheoretische Universen zu konstruieren, und um andererseits die grundlegenden Eigenschaften der Menge der reellen Zahlen und ihrer Teilmengen besser zu verstehen.

In diesem Projekt haben wir verschieden große Unendlichkeiten (oder "unendliche Kardinalzahlen") untersucht, die als Kardinalitäten von gewissen Mengen reeller Zahlen auftreten. In der Mengenlehre, einem Teilgebiet der Mathematischen Logik, untersucht man (anders als im Alltagsleben, wo man es im Allgemeinen nur mit endlichen Objekte zu tun hat) unendliche Mengen, wie etwa die Menge aller reellen Zahlen, oder Teilmengen davon, wie die Menge aller natürlichen Zahlen, oder aller Zahlen zwischen 0 und 1. Man man kann nicht nur endliche sondern auch unendliche Mengen in Bezug auf ihre "Größe" (wir verwenden das Fachvokabel Kardinalität, um auf den Unterschied zum Alltagsbegriff der Größe von endlichen Mengen hinzuweisen) vergleichen, und man weiß schon lange, dass es unendlich viele verschiedene Kardinalitäten von unendlichen Mengen gibt. Z.B. haben die Menge der natürlichen Zahlen und die Menge der rationalen Zahlen zwar die gleiche Kardinalität, aber nicht die gleiche Kardinalität wie die Menge aller reellen Zahlen. Wie sehr sich gerade diese beiden Kardinalitäten unterscheiden, war seit jeher eine zentrale Frage der Mengenlehre; Georg Cantors Kontinuumshypothese (CH, das erste von Hilberts 23 Problemen) war die Vermutung, dass es keine Kardinalität gibt, die strikt zwischen diesen beiden liegt. In diesem Projekt haben wir Kardinalitäten von speziellen (meist "pathologischen") Mengen untersucht, die in anderen Gebieten der Mathematik auftauchen. Ein Beispiel: Welche Kardinalität muss eine Teilmenge des 3-dimensionalen Raums mindestens haben, der man kein sinnvolles "Volumen" zuordnen kann? (Solche Mengen treten etwa im Paradoxon von Banach und Tarski auf.) Wenn wir etwa Teilmengen des 3-dimensionalen Raums betrachten, so unterscheiden wir "Nullmengen" (das sind Mengen, denen man das Volumen 0 zuordnet, wie zum Beispiel endliche Teilmengen oder 2-dimensionale Teilmengen wie zum Beispiel Ebenen) und "positive" Mengen (=alle anderen Mengen). Man interessiert sich etwa dafür, wie viele Elemente eine positive Menge mindestens haben muss, oder wie viele Nullmengen man vereinigen muss, um den ganzen Raum zu bekommen. Die beiden gerade beschriebenen Kardinalitäten werden mit 8 weiteren im so genannten Cichon-Diagram zusammengefasst, welches Relationen zwischen diesen Kardinalitäten beschreibt. Sie sind zwar alle überabzählbar (das heißt, größer als die Kardinalität der Menge der natürlichen Zahlen). Man kann aber ein mengentheoretisches Universum konstruieren, in dem alle diese Kardinalitäten gleich groß sind, und auch weitere Universen, in denen manche von ihnen verschiedene Werte haben. Durch Kombination von bekannten Methoden mit neuen Ideen konnten wir erstmals ein mengentheoretisches Universum beschreiben, in dem alle diese Kardinalitäten verschiedene Werte haben. Unsere neue Methode hat auch bereits andere Anwendungen gefunden. Es gibt eine lange Reihe weiterer Kardinalitäten, deren Relation zu den bereits betrachteten Kardinalitäten noch offen ist.