Freie semialgebraische Geometrie und Konvexität

In der klassischen semialgebraischen Geometrie untersucht man Teilmengen des euklidischen Raumes, die durch polynominale Ungleichungen beschrieben sind. Die algebraische Struktur der Mengen erlaubt starke Methoden und Ergebnisse. Beispielsweise besagt der Projektionssatz, dass die Projektion einer semialgebraischen Menge wieder semialgebraisch ist. Daraus erhält man auch, dass die konvexe Hülle einer semialgebraischen Menge wieder semialgebraisch ist. Dies ist besonders in der Optimierung interessant, wo man durch Übergang zur konvexen Hülle oft die Geometrie stark vereinfachen kann, ohne das Ergebnis des Optimierungsprozesses zu verändern. Besonders häufig möchte man dann möglichst einfache algebraische Beschreibungen der konvexen Hülle finden, um die Optimierung gut durchführen zu können. Das vorliegende Projekt beschäftigt sich nun mit ähnlichen Fragen, allerdings im sogenannten freien, d.h. nicht-kommutativen Kontext. Dabei bestehen die semialgebraischen Mengen aus Matrizen aller Größen gleichzeitig, sind also dimensionsfrei. Diese Theorie ist erst kürzlich entstanden, und besitzt Anwendungen im Design linearer Systeme, der Quantenphysik, der Optimierung und der Gruppentheorie. Allerdings sind viele Begriffe, Methoden und Ergebnisse aus der kommutativen Theorie noch nicht zufriedenstellend in die nicht-kommutative Theorie übersetzt worden. Dies ist die Hauptaufgabe des Projekts. Die wichtigsten Fragen dabei sind, ob ein Projektionssatz auch in der nicht-kommutativen Theorie gilt, welches der richtige Begriff einer freien semialgebraischen Mengeüberhauptist, und wie freie konvexe Hüllen von semialgebraischen Mengen möglichst einfach beschrieben werden können. Zur Beantwortung der Fragen werden Methoden aus der Theorie der Operatoralgebren, der Gruppentheorie und der Funktionalanalysis über reell abgeschlossenen Körpern verwendet. Die Ergebnisse sind für eine weitere Entwicklung der nicht-kommutativen semialgebraischen Geometrie von grundlegender Bedeutung. Des Weiteren liefern sie eine solide Basis für viele der algorithmischen Anwendungen mittels semidefiniter Optimierung, die in letzter Zeit sehr populär geworden sind, und eröffnen die Möglichkeit für weitere solche Anwendungen.

Das Ziel des Projekts war die Untersuchung von sogenannten "nicht-kommutativen semialgebraischen Mengen". Es handelt sich dabei um Mengen von Matrizen, die durch polynomiale Ungleichungen definiert sind. Ein wichtiges Resultat der klassischen Theorie besagt, dass Projektionen von semialgebraischen Mengen wieder semialgebraisch sind. Wir konnten nun zeigen, dass dieselbe Aussage für nicht-kommutative Mengen nicht mehr gilt. Wir haben außerdem wichtige Zusammenhänge zwischen der Theorie nicht-kommutativer Mengen, der Quanteninformationstheorie und der Theorie von Operatorsystemen entdeckt und untersucht. Das hat zu einigen interessanten neue Ergebnissen in allen diesen Feldern geführt, und wird sich hoffentlich auch in der nahen Zukunft als richtungsweisender Ansatz erweisen.