Normalformen in der Komplexen Analysis

Ein bedeutendes Teilgebiet der komplexen Analysis mehrerer Veränderlicher ist die CR-Geometrie. Dieser Forschungszweig wurde von Henri Poincare begründet und von Cartan, Tanaka, Chern und Moser wesentlich geprägt. Ein wichtiger Aspekt der CR-Geometrie ist das Studium von glatten reellen Teilmannigfaltigkeiten in komplexen Räumen und holomorphe Abbildungen zwischen ebensolchen. Das führt zum sogenannten Holomorphen Äquivalenz-Problem für reelle Teilmannigfaltigkeiten in komplexen Räumen der selben Dimension. Die Arbeiten der vorhergenannten Cartan, Tanaka und Chern-Moser verhalfen zu einem tieferen Verständnis des Äquivalenz-Problems. Insbesondere die dynamische Methode von Moser zur Lösung des Äquivalenz-Problems verwendet eine bestimmte Wahl von ausgezeichneten holomorphen Koordinaten für reelle Teilmannigfaltigkeiten, sodass die assoziierte Geometrie in gewissem Sinn von einer eindeutigen und einfachen Form ist. Diese Form heißt Normalform und die Konstruktion derselben ergibt die Lösung des Äquivalenz-Problems mittels der Methode der Normalformen. Die Existenz einer Normalform für reelle Teilmannigfaltigkeiten besitzt weitreichende Implikationen beim Studium vieler analytischer und geometrischer Fragestellungen in der Theorie der reellen Teilmannigfaltigkeiten. Die Arbeiten von Moser behandelten den Fall sogenannter Levi-nichtdegenerierter Teilmannigfaltigkeiten, während im degenerierten Fall noch sehr wenig bekannt ist. Ein Durchbruch in der Theorie der Normalformen im Levi-degenerierten-Fall gelang kürzlich in einer Serie von Publikationen des Antragstellers mit Dmitri Zaitsev. Hier wurden (holomorphe) Normalformen für wichtige allgemeine Klassen von Levi- degenerierten Hyperflächen erhalten. Dies gelang mittels einer Methode, welche diverse weitreichende Erweiterungen und Verallgemeinerungen erlaubt. Das Forschungsprojekt versucht die Methoden des Antragstellers und Zaitsev in verschiedenste Richtungen zu erweitern und die Theorie der Normalformen in der CR-Geometrie weiter zu entwickeln. Das Projekt besteht aus drei Teilen I, II und III, wo wir auf den aktullen Forschungsstand eingehen und unsere Methode im Detail darlegen.

Within the project, we were able to obtain significant advances in the theory of normal forms for real submanifolds in complex space and for classes of associated dynamical systems. In particular: (i) A Borel theorem for CR-maps in complex dimension 3 was established; (ii) Normal forms for 3-dimensional infinite type CR-manifolds were constructed; (iii) Beloshapka Rigidity Conjecture was solved; (iv) Normal forms for arbitrary second order ODEs were constructed; (v) A necessary and sufficient condition for the existence of an analytic normal form for a CR-structure was given; (vi) A complete list of normal forms for homogeneous strictly pseudoconvex hypersurfaces in complex 3-space was presented; (vii) A complete normal form for everywhere 2-nondegenerate hypersurfaces in complex 3-space was constructed; (viii) 2-nondegenerate geometries with simple models were classified; (ix) A complete list of normal forms for singular linear second order ODEs at a singularity was obtained; (x) The class of Fuchsian 3-dimensional manifolds was introduced. Analytic regularity of invertible CR-maps between Fuchsian type CR-manifolds was established. Complete convergent normal forms for Fuchsian type hypersurfaces were obtained; (xi) Examples of Levi-nondegenerate real submanifolds in complex space admitting nontrivial CR-automorphisms tangent to the identity to arbitrarily high order were constructed; (xii) Necessary conditions for the embeddability of a real hypersurface into a hyperquadric were obtained. The project has had significant impact and has opened new research prospectives in the filed of CR-geometry, and partially in Dynamical Systems and Differential Geometry.