Algebraische Statistik und Symbolisches Rechnen

Die Algebraische Statistik ist ein Forschungsgebiet, das in den letzten Jahrzehnten große Popularität gewonnen hat. Wie der Name bereits nahelegt, verbindet sie zwei Hauptzweige der Mathematik: Statistik und Algebra. Das Ziel hierbei ist es, Ergebnisse und Methoden der Algebra zum Problemlösen in der Statistik anzuwenden. Die hier verwendeten algebraischen Verfahren sind dem Symbolischen Rechnen (Computeralgebra) zuzuordnen und befassen sich mit symbolischen Summations- und Integrations- problemen. Sie sind so konstruiert, dass sie nur auf der Klasse der holonomen Funktionen arbeiten können. Allerdings ist diese Klasse ziemlich umfangreich, da sie viele elementare Funktionen und zahlreiche spezielle Funktionen enthält. Erst kürzlich, im Jahr 2011, wurden zwei neue Verfahren vorgestellt, die sich mit holonomen Funktionen befassen: die holonome Gradientenmethode (holonomic gradient method, HGM) zu deren numerischer Auswertung und das holonome Gradientenabstiegsverfahren (holonomic gradient descent, HGD) zum Auffinden lokaler Minima. HGM und HGD sind hybride numerisch-symbolische Algorithmen, die in der Statistik zum Berechnen wichtiger Kenngrößen verwendet werden können, wie zum Beispiel der Normalisierungskonstanten für Familien von Wahrscheinlichkeitsverteilungen oder Maximum-Likelihood- Schätzungen. Damit bieten sie eine interessante Alternative zu Monte-Carlo-Simulationen, zumindest für eine gewisse Klasse von Problemen. In mehreren Anwendungen haben sich HGM und HGD bereits als äußerst leistungsfähige und robuste Methoden erwiesen. In diesem Projekt wollen wir HGM und HGD auf einige wichtige Probleme aus der Statistik anwenden, unter anderem, um die Verteilung der Eigenwerte von Wishart-Matrizen auszuwerten, sowie auf die bedingte Maximum-Likelihood-Schätzung der verallgemeinerten hypergeometrischen Verteilung für Kontingenz- tafeln, und weiters, um die Qualität von drahtlosen MIMO-Kommunikationssystemen zu analysieren. Diese Anwendungen führen auf schwierige Probleme im Bereich des Symbolischen Rechnens; einige davon beabsichtigen wir im Rahmen dieses Projekts zu lösen. Ein anderes wesentliches Ziel des Projekts ist die Entwicklung und Implementierung neuer Algorithmen für holonome Funktionen. Das Projekt hat sowohl internationalen als auch interdisziplinären Charakter, da es Statistiker und Computeralgebra-Experten aus Österreich und Japan zusammenbringt. Ein interessanter Aspekt des Projekts, der die Computeralgebra betrifft, ist die Belebung des wissenschaftlichen Austauschs zwischen zwei Forschungsgruppen, welche beide im Bereich des Symbolischen Rechnens an ähnlichen Problemstellungen arbeiteten, aber mit unterschiedlichen Herangehensweisen. Was die Statistik betrifft, so erwarten wir bedeutende Fortschritte in der Theorie der mehrdimensionalen Verteilungen und die Forcierung einer neuartigen, sehr nützlichen Methodik.

Die Algebraische Statistik ist ein relativ neues Forschungsgebiet, das in den letzten zwei Jahrzehnten große Aufmerksamkeit gewonnen hat. Wie der Name bereits nahelegt, verbindet sie zwei Hauptzweige der Mathematik: Statistik und Algebra. Ihr Ziel ist es, Ergebnisse und Methoden der Algebra zum Problemlösen in der Statistik anzuwenden. Die hier verwendeten algebraischen Verfahren sind dem Symbolischen Rechnen (Computeralgebra) zuzuordnen und befassen sich mit symbolischen Summations- und Integrationsproblemen. Aufgrund ihrer Konzeption können sie nur auf der Klasse der sogenannten holonomen Funktionen arbeiten. Allerdings ist diese Klasse recht umfangreich, sie enthält zahlreiche elementare und spezielle Funktionen. Im Jahr 2011 wurden zwei neue Verfahren vorgestellt, die sich mit holonomen Funktionen befassen: die holonome Gradientenmethode (holonomic gradient method, HGM) zu deren numerischer Auswertung und das holonome Gradientenabstiegsverfahren (holonomic gradient descent, HGD) zum Auffinden lokaler Minima. HGM und HGD sind hybride numerisch-symbolische Algorithmen, die in der Statistik zum Berechnen wichtiger Kenngrößen verwendet werden können, wie zum Beispiel der Normalisierungskonstanten für Familien von Wahrscheinlichkeitsverteilungen oder Maximum-Likelihood-Schätzungen. Damit bieten sie eine interessante Alternative zu den oft verwendeten Monte-Carlo-Simulationen, zumindest für gewisse Klassen von Problemen. In diesem Projekt haben wir HGM auf einige Probleme aus der Statistik angewendet, zum Beispiel, um die Verteilung der größten Eigenwerte von reellen Wishart-Matrizen abzuschätzen; dies ist entscheidend bei der Qualitätsanalyse von drahtlosen Kommunikationssystemen. Diese Anwendungen stellten uns vor schwierige rechnerische Herausforderungen, so dass bei dieser Forschung gleichzeitig das Gebiet des Symbolischen Rechnens beträchtlich weiterentwickelt wurde. Zwei Softwarepakete für die Berechnung von zonalen Polynomen wurden erstellt, die für Statistiker von Interesse sind. Ein anderes wesentliches Ziel war die Entwicklung neuer Algorithmen für holonome Funktionen. Im Rahmen dieses Projekts wurden Desingularisierungstechniken für D-endliche Systeme und für q-Differenzengleichungen entwickelt, eine Vermutung von Wilf und Zeilberger, dass für hypergeometrische Terme die Eigenschaften proper und holonom äquivalent sind, wurde bewiesen, und neue Lösungsverfahren für nichtlineare algebraische Differentialgleichungen wurden erarbeitet. Diese Resultate wurden in mathematischer Software implementiert, die für andere Forscher frei verfügbar ist. Schließlich wurden etliche Resultate im Bereich der statistischen Physik und der Kombinatorik erzielt. Beispielhaft seien genannt: (1) Diagonalen von rationalen Funktionen sind in der mathematischen Physik allgegenwärtig. Wir haben gezeigt, wie diese Objekte mit Hilfe von bekannten speziellen Funktionen (hypergeometrische bzw. Heun-Funktionen) ausgedrückt werden können. (2) Neue Berechnungsmethoden für die Anzahl der Konfigurationen von starren Gerüsten wurden gefunden. (3) Eine Forschungsfrage bezüglich der kleinsten Anzahl von einfarbigen Schurtripeln wurde beantwortet.