Spektraltheorie, abelsche Überlagerungen und Iterationen

Im Projektantrag Spektraltheorie, abelsche Überlagerung und Iterationen wird die Spektraltheorie ergodischer Differenzen- bzw. Differentialoperatoren der zweiten Ordnung behandelt. Dass dieses Thema auf höchstem wissenschaftlichen Level ist, wurde kürzlich von der mathematischen Gemeinschaft erkannt: Avila widmete seine ganze Fields-Medaillen Rede quasi- periodischen Schrödinger Operatoren. Grob gesagt verwendet diese Theorie zwei Zugänge: Direkte oder Inverse Methoden. Beide haben Vor- und Nachteile. Grundsätzlich ist das Ziel dieses Projektes mithilfe von inversen Methoden eine umfassende Theorie für Klassen von Operatoren zu entwickeln, die in der direkten Spektraltheorie typisch sind. Als Beispiel einer umfassenden Theorie sei unsere gemeinsame Arbeit mit Volberg über Operatoren mit absolut stetigem Spektrum (Kotani-Last Problem) erwähnt. In diesem Projekt suchen wir eine vergleichbare Theorie für Operatoren mit singulärem Spektrum, genauer gesagt, wir würden gerne klarstellen inwieweit eine essentielle Abhängigkeit der Frequenzen für die Beobachtung dieses spektralen Phänomens wichtig ist. Sogar in dieser Klarstellung ist dieses Ziel sehr ambitioniert. Wir wissen zwar, dass jede reflectionless Jacobi Matrix, deren Spektrum eine Cantormenge positiven Maßes ist, fastperiodisch ist, aber was kann man sagen, falls das Spektrum die klassische Cantormenge ist (Carleson). Dazu ein Zitat aus einem kürzlich erschienen Artikel von Krüger und Simon: ...in diesem Fall haben wir nur Vermutungen, Diskussionen und einige numerische Experimente.... An dieser Stelle beschränken wir uns auf zwei grundlegende Ideen: (1) die Verwendung Abelscher Überlagerungen und zugehöriger Funktionenräume analytischer Funktionen angewandt auf ergodische Operatoren mit singulärem Spektrum; (2) die Verwendung von GMP Matrizen und Iterationstheorie rationaler Funktionen, um die Eigenschaften von Jacobi Matrizen,deren Spektrum die zugehörige Julia Menge ist, zu studieren. Die erste Idee verwendet ein bekanntes Resultat von Lyons und McKean, die zeigten, dass sich durch den Übergang zu Abelschen Überlagerungen, die Klasse von erlaubten analytischen Funktionen auf Riemannschen Flächen dramatisch erweitert. GMP Matrizen wurden kürzlich entdeckt und verwendet um das Killip- Simon Problem zu lösen. Das Ziel (2) kann als Mittelweg zwischen dem vergleichsweise gut behandelten Problem der Betrachtung von Juliamengen, resultierend aus der Iteration von Polynomen (Bellissard, Bessis, Moussa), und der erwähnten Carlesson Frage über die Standard- Cantormenge angesehen werden. Eine analytische Eigenschaft betreffend könnte dies eine entscheidendeRolle im allgemeinenKontext spielen: Sodin vermutete, dass die Resolventenmenge einer fastperiodischen Familie gleichmäßig perfekt ist. Pommerenke beschrieb Eigenschaften solcher Mengen mithilfe von Mittelungsoperatoren, die auf universellen Überlagerungsflächen wirken. Auf diese Weise erhält man eine weite Familie von Charakter automorphen Funktionen. Die zugehörigen Klassen von analytischen Funktionen auf der Einheitsscheibe wurden von Korenblum und seinen Nachfolgern behandelt.

Dieses Projekt befasst sich mit der Spektraltheorie ergodischer und fast periodischer Differenz-/Differentialoperatoren zweiter Ordnung (wahrscheinlich das bekannteste Objekt in der Spektraltheorie aufgrund ihrer Beziehung zur Quantenmechanik und zu integrierbaren dynamischen Systemen). In der Regel handelt es sich bei ihren Resolvent-Sets um Denjoy-Domänen mit Cantor-Typgrenzen. Als eines der Hauptforschungsziele war geplant, Abelsche Bedeckungen von Denjoy-Domänen und verwandte Funktionsmodelle auf Riemann-Oberflächen zu untersuchen und zu verwenden. Die wesentlichste Entwicklung dieser Theorie wurde in der Publikation "KdV-Hierarchie über abelsche Bedeckungen und Operatoridentitäten" [Transection of the American Mathematical Society, 2019] vorgestellt. Wir waren zunächst wegen seiner breiten Anziehungskraft an einer Anwendung auf die KdV-Hierarchie interessiert. Neuere Arbeiten von Binder, Damanik, Goldstein und Lukic haben unter stärkeren Annahmen nur für die KdV-Gleichung selbst etwas Ähnliches bewiesen, und Kotani hat ein ähnliches Ergebnis unter einer Ganzzahlmomentbedingung angekündigt. Kurz gesagt, wir haben gezeigt, dass die KdV-Hierarchiegleichung für eine breite Klasse von fast periodischen Anfangsdaten eine Folge einer trivialen Kommutantenbeziehung für zwei Multiplikationsoperatoren ist, die in den Hardy-Räumen auf dieser abelschen Abdeckung wirken. Der erfolgreiche Abschluss des Projekts scheint durch eine weitere Veröffentlichung seiner Ergebnisse im Duke Mathematical Journal - einer der weltweit führenden mathematischen Zeitschriften (gemeinsame Arbeit mit J. S. Christiansen, B. Simon und M. Zinchenko) - deutlich zu werden. Wir haben die Szegö-Widom-Asymptotik für die Chebyshev-Polynome einer kompakten Teilmenge von R bewiesen, die den Parreau-Widom- und DCT-Bedingungen (Direct Cauchy Theorem) entspricht. Diese Asymptotik wurde durch sehr wichtige inverse Aussagen ergänzt. Insbesondere in einer generischen Position sollte die Domäne vom Parreau-Widom-Typ mit DCT sein, sobald sich die geringste Abweichung für die Chebyshev-Polynome auf dem gegebenen Kompakt fast periodisch verhält. Die Projektergebnisse bildeten eine vielversprechende und solide Grundlage für die Lösung des sogenannten Nummer-Eins-Problems in der Theorie integrierbarer Systeme gemäß der Liste von Percy Deift. Er vermutete, dass eine Lösung der KdV-Gleichungen zeitlich nahezu periodisch ist, sobald die Anfangsdaten räumlich nahezu periodisch sind. Unser Programm wurde bereits als eigenständiges FWF-Projekt "Deift Problem and Spectral Theory" unterstützt. Das Projekt ermöglichte es, das Ansehen von PI, seiner Abteilung und seines Instituts zu stärken und die internationalen Kontakte zu führenden Experten auf diesem Gebiet zu verbessern. Eine davon führte zu einer Lösung des weithin untersuchten, aber seit langem offenen Remez-Problems für trigonometrische Polynome (gemeinsam mit S. Tikhonov). Arbeiten im Projekt B. Eichinger bereitete sein eigenes Forschungsprojekt vor und bewarb sich erfolgreich um das Erwin-Schrödinger-Stipendium (verliehen vom FWF).