Der konservative Camassa-Holm Fluss

Solitonengleichungen sind typischerweise nichtlineare partielle Differentialgleichungen die in verschiedenen Gebieten der Physik auftreten. Von Nichtlinearer Optik über Atomphysik bis hin zu Strömungsmechanik sind diese Gleichungenoft für ihre tiefreichenden mathematischen Strukturen bekannt. Das wohl bekannteste Beispiel einer solchen Solitonengleichung ist die umfassend erforschte Korteweg-de Vries (KdV) Gleichung. Nachdem sie im Jahr 1895 als ein Modell für Wellen in seichtem Wasser hergeleitet wurde, ermöglichte es die KdV Gleichung zuvor beobachtete einzelne Wellen als eine feine Balance zwischen nichtlinearen und dispersiven Effekten zu erklären. Ungefähr siebzig Jahre später wurde der zugrundeliegende theoretische Rahmen für dieses Phänomen von Clifford Gardner, John Greene, Martin Kruskal und Robert Miura gefunden. Sie entwickelten die Inverse Streumethode um die KdV Gleichung zu lösen und zeigten, dass man die KdV Gleichung als ein unendlich dimensionales, vollständig integrables hamiltonsches System auffassen kann. Diese einflussreichen Ergebnisse stellen die Geburtsstunde einer Fachrichtung dar, welche heute als Solitonentheorie bekannt ist; ein stetig wachsendes, faszinierendes und aktives Forschungsgebiet mit reichhaltigen und ergiebigen Verbindungen zu angewandten Wissenschaften. Eine besondere Solitonengleichung, die während der letzten zwei Jahrzehnte intensiv untersucht wurde, ist die sogenannte Camassa-Holm (CH) Gleichung. Ihre Relevanz rührt daher, dass sie als ein Modell für die unidirektionale Wellenausbreitung in seichtem Wasser hergeleitet wurde. Die bemerkenswerteste Eigenschaft der CH Gleichung ist, dass, im Gegensatz zur KdV Gleichung, selbst glatte Anfangswerte zu Lösungen führen können, die bis zu einem gewissen Grad dem Brechen von Wellen ähneln. Trotz vieler Bemühungen und einer stetig anwachsenden, enormen Menge an Arbeiten über diese Gleichung, ist es immer noch nicht gelungen die Inverse Streumethode auf die CH Gleichung anzuwenden. Das vorgeschlagene Forschungsvorhaben nutzt neueste Fortschritte in der Theorie indefiniter Spektralprobleme (eingeleitet von Mark Krein und Heinz Langer in den 1970er Jahren) um die dabei auftretenden Schwierigkeiten zu bewältigen. Es ist das Hauptziel dieses Projekts, letztendlich die Inverse Streumethode für die CH Gleichung sowie für verwandte Gleichungen zu entwickeln. Das wird schließlich zu einem neuen Verständnis dieser Gleichungen als unendlich dimensionale, vollständig integrable hamiltonsche Systeme führen.

Seit ihrer Entdeckung im Jahr 1967 wurde die Inverse Streu-/Spektraltransformation zu einem bedeutenden Hilfsmittel zur Lösung vollständig integrabler Systeme entwickelt. Der Kern dieser Methode liegt in der Beobachtung, dass der Fluss einiger nichtlinearer Wellengleichungen in einen einfachen linearen Fluss bestimmter Streu- oder Spektraldaten einer zugehörigen Familie von Differentialoperatoren transformiert werden kann. Es war das Hauptziel des Projekts, diese Methode für die Camassa-Holm Gleichung, welche als ein Modell für die unidirektionale Wellenausbreitung in seichtem Wasser über einem ebenen Grund auftritt, zu implementieren. Insbesondere beinhaltete dies, direkte und inverse Spektraltheorie für ein verallgemeinertes Sturm-Liouville Problem mit einem indefiniten Gewicht von schwacher Regularität zu untersuchen. Eine der bemerkenswertesten Eigenschaften der Camassa-Holm Gleichung ist die Tatsache, dass sie auch Lösungen erlaubt welche bis zu einem gewissen Grad das Brechen von Wellen beschreiben. Die Komplikationen im Zusammenhang damit tauchen auch für das zugehörige inverse Spektralproblem auf und sind der Hauptgrund warum die Inverse Streu-/Spektraltransformation zuvor noch nicht für die Camassa-Holm Gleichung umgesetzt werden konnte. Während des Projekts wurden neue Methoden für verallgemeinerte Sturm-Liouville Probleme mit indefiniten Gewichten von schwacher Regularität entwickelt um diese Schwierigkeiten zu bewältigen. Aufgrund dessen war es schließlich möglich, die Inverse Spektraltransformation für die Camassa-Holm Gleichung mit abfallenden Anfangsprofilen zu implementieren. Die Resultate welche aus dem Projekt hervorgingen führten zu einem neuen Verständnis des konservativen Camassa-Holm Flusses.