Regularität und Stabilität von verallgemeinerten Gleichungen

Das Aufstellen und Lösen von Gleichungen ist eine der wichtigsten Problemstellungen in der Mathematik. In den letzten Jahrzehnten wurden jedoch die behandelten Modelle immer mehr verfeinert und normale Gleichungen wurden durch sogenannte verallgemeinerte Gleichungen ersetzt. Ein geeignetes Werkzeug zur Behandlung solcher verallgemeinerten Gleichungen sind mengenwertige Abbildungen, die einem Punkt des Definitionsbereichs eine Menge des Bildbereichs zuordnet, und nicht, wie bei herkömmlichen Funktionen, einen einzelnen Punkt. Dies führt zum Ersatz des Gleichheitszeichens in einer herkömmlichen Gleichung durch eine Inklusion in einer verallgemeinerten Gleichung. Wichtige Anwendungsgebiete sind Probleme, wo eine Zielfunktion unter Einhaltung gewisser Nebenbedingungen minimiert oder maximiert werden soll, oder auch Equilibriumsprobleme wie z.B. Nash-Equilibrium. Für die Analyse und effiziente Lösung solcher verallgemeinerten Gleichungen werden, genau wie im Fall herkömmlicher Gleichungen, Regularitätsannahmen benötigt. Weiters muss auch der Einfluss von Störungen berücksichtigt werden, d.h. welche Änderung in der Lösung bei Änderungen von Modellparametern zu erwarten ist. Natürlich ist es im allgemeinen wünschenswert, dass kleine Änderungen von Modellparametern nur kleine Änderungen in der Lösung bewirken. Diese Eigenschaft wird auch Stabilität der betrachteten Gleichung genannt und hängt in der Regel wiederum vom Vorliegen von Regularitätseigenschaften ab. Eine andere Fragestellung, die wiederum eng mit Stabilität verknüpft ist, ist, ob die Lösungen eines parameterabhängigen Modell als Abbildung von Parametern aufgefasst werden können, die gewisse wünschenswerte Eigenschaften besitzt. Zur Behandlung stellt eine moderne Teildisziplin der Mathematik, die sogenannte Variationsanalysis, effiziente Werkzeuge zur Verfügung, die Eigenschaften von herkömmlichen Funktionen wie Stetigkeit und Differenzierbarkeit, auf mengenwertige Abbildungen erweitern.

Das Aufstellen und Lösen von Gleichungen ist eine der wichtigsten Problemstellungen in der Mathematik. In den letzten Jahrzehnten wurden jedoch die behandelten Modelle immer mehr verfeinert und normale Gleichungen wurden durch sogenannte verallgemeinerte Gleichungen ersetzt. Ein geeignetes Werkzeug zur Behandlung solcher verallgemeinerten Gleichungen sind mengenwertige Abbildungen, die einem Punkt des Definitionsbereichs eine Menge des Bildbereichs zuordnet, und nicht, wie bei herkömmlichen Funktionen, einen einzelnen Punkt. Dies führt zum Ersatz des Gleichheitszeichens in einer herkömmlichen Gleichung durch eine Inklusion in einer verallgemeinerten Gleichung. Wichtige Anwendungsgebiete sind Probleme, wo eine Zielfunktion unter Einhaltung gewisser Nebenbedingungen minimiert oder maximiert werden soll, oder auch Equilibriumsprobleme wie z.B. Nash-Equilibrium. Für die Analyse und effiziente Lösung solcher verallgemeinerten Gleichungen werden, genau wie im Fall herkömmlicher Gleichungen, Regularitätsannahmen benötigt. Weiters muss auch der Einfluss von Störungen berücksichtigt werden, d.h. welche Änderung in der Lösung bei Änderungen von Modellparametern zu erwarten ist. Natürlich ist es im allgemeinen wünschenswert, dass kleine Änderungen von Modellparametern nur kleine Änderungen in der Lösung bewirken. Diese Eigenschaft wird auch Stabilität der betrachteten Gleichung genannt und hängt in der Regel wiederum vom Vorliegen von Regularitätseigenschaften ab. Eine andere Fragestellung, die wiederum eng mit Stabilität verknüpft ist, ist, ob die Lösungen eines parameterabhängigen Modell als Abbildung von Parametern aufgefasst werden können, die gewisse wünschenswerte Eigenschaften besitzt. Zur Behandlung stellt eine moderne Teildisziplin der Mathematik, die sogenannte Variationsanalysis, effiziente Werkzeuge zur Verfügung, die Eigenschaften von herkömmlichen Funktionen wie Stetigkeit und Differenzierbarkeit, auf mengenwertige Abbildungen erweitern.