Ziel-orientierte Fehlerkontrolle für Phasenfeld-Rissbildung gekoppelt mit Multiphysikanwendungen

In zahlreichen Anwendungen der Ingenieurswissenschaften, Physik oder auch Medizin liegt der Hauptfokus in der Berechnung von Zielfunktionalen. Solche Größen sind beispielsweise die akkurate Berechnung von Verschiebungen oder Spannungen in der Festkörpermechanik, Strömungswiderstände in der Fluiddynamik, oder Rissbreite und -Länge in der Bruchmechanik. In diesem Projekt liegt das Hauptaugenmerk auf Zielfunktionalberechnungen in der Bruckmechanik und deren Kopplung zu Multiphysikanwendungen sowie Optimierungsproblemen. Das Basis-Rissmodell in diesem Projekt basiert auf einem Phasenfeldansatz, welcher mit der Finite-Elemente-Methode realisiert wird um Computersimulationen durchzuführen. Dieser Ansatz ist attraktiv, da der Risspfad im Finite-Elemente-Gitter nicht exakt aufgelöst werden muss und daher mit relativ geringem Aufwand zwei- und dreidimensionale Simulationen durchgeführt werden können. Der Nachteil des Phasenfeldansatzes ist allerdings eine Verschmierung um den Riss, welcher die Genauigkeit der Rissauflösung beeinflusst. Die Verschmierungszone hängt von einem Modellparameter eps ab, welcher selbst von dem Diskretisierungsparameter h des Finite-Elemente-Ansatzes abhängt. Dementsprechend ist die Berechnung der Zielfunktionale immer in Abhängigkeit dieser beiden Parameter zu sehen. Die numerische Analyse und entsprechende Simulationen der oben genannten Zielfunktionale mit dual-gewichteten Residuen in a posteriori Fehlerkontrollen bilden das erste Ziel dieses Projekts. Dieser Teil ist bereits anspruchsvoll, aber dennochsindaussagekräftige Ergebnisse zu erwarten.ZweiErweiterungen -inklusive Zielfunktionalberechnungen - des Basis-Phasenfeldansatzes hinsichtlich Multiphysikanwendungen und Optimierung bilden den innovativen und herausfordernden Teil des Projekts. Dies liegt im wesentlichen daran, dass die mathematische und numerische Modellierung (auch ohne Zielfunktionale) nur teilweise vorhanden ist und zuerst angegangen werden muss. Ein Erfolg dieses Programms würde wichtige und vielversprechende Einsatzfelder erschließen. Dies sind hinsichtlich Multiphysikanwendungen beispielsweise medizinische Anwendungen (z.B. Riss in der Aorta oder Risse in Plaqueausbreitungen in Arterien) oder auch Risse in porösen Medien bzw. Risse/Rissnetzwerke in der Geologie. Hinsichtlich Optimierungsproblemen sind Optimalsteuerungsprobleme (z.B. Kontrolle des Risspfades) und Parameterschätzprobleme von großer Bedeutung, womit unbekannte Modell- und Materialparameter bestimmt werden können.

In vielen technischen und naturwissenschaftlichen Anwendungen ist die Computersimulation von multiphysikalischen Prozessen ein wichtiges Werkzeug zum Verstehen und vor allem zum Optimieren dieser Prozesse. Zu dieser Problemklasse zählen viele Probleme aus der Festkörper- und Strömungsmechanik wie die Interaktion von Festkörpern mit Flüssigkeiten (FSI = Fluid-Struktur-Interaktion), die Ausbreitung von Rissen (PFF = Phase-Field-Fracture), sowie deren Zusammenspiel und Interaktion mit anderen physikalischen Prozessen wie z.B. Wärmeleitung und Wärmetransport. Die mathematische Modellierung dieser Prozesse führt auf gekoppelte nichtlineare Systeme instationärer partieller Differentialgleichungen, die nur numerisch zu lösen sind. Schnelle numerische Verfahren zur Computersimulation von FSI- und PFF-Problemen und deren Implementierung auf modernen Parallelrechnern waren eines der beiden Forschungsschwerpunkte des Projektes. Die Entwicklung, Implementierung und das Testen matrixfreier, monolithischer Mehrgitterverfahren als wesentlicher Baustein zur Konstruktion von numerischen Verfahren zum Lösen der bei der Diskretisierung entstehenden nichtlinearen Gleichungssystemen mit vielen Millionen Unbekannten war eines der Hauptresultate des Projektes. Der zweite Forschungschwerpunkt war der Evaluierung der Zuverlässigkeit und der Verbesserung der Effizienz der numerischen Verfahren durch a posteriori Fehlerabschätzungen und deren Nutzung zur adaptiven Steuerung der Diskretisierung gewidmet. Hier lag das Hauptaugenmerk auf sogenannter zielorientierter Fehlerschätzung. Solche Zielfunktionale ergeben sich aus technischen Anwendungen mit aus der Lösung abgeleiteten Größen. In vielen Fällen ist eine genaue Berechnung der Lösung nur dort nötig, wo sie die abgeleiteten Größen beinflusst. Das Hauptergebnis hier ist die Entwicklung einer neuen Theorie auf abstrakten Niveau für a posteriori Fehlerschätzer, die gleichzeitig mehrere Zielgrößen ins Auge fassen. Praktisch hat man dann die Möglichkeit die Diskretisierung so zu adaptieren, dass diese Zielgrößen möglichst genau mit geringsten numerischen Aufwand berechnet werden. Zusammen mit internationalen Kooperationspartnern in Deutschland haben wir diese Technik auf die optimale Steuerung von nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen erweitert.