Rigiditätsprobleme in der CR-Geometrie

Bonnet entdeckte um 1860, dass zwei Flächen im euklidischen Raum, die isometrisch sind und deren zweite Fundamentalformen übereinstimmen, mittels einer rigiden Bewegung ineinander abgebildet werden können, d.h. es gibt eine euklidische Transformation, die eine Fläche in die andere überführt. Über hundert Jahre später bewies Webster das CR-Analogon des Theorems von Bonnet und eröffnete damit ein damals neues und bis heute sehr aktives Themenfeld in der CR-Geometrie. Ein Aspekt unseres Projekts ist die Frage der lokalen Rigidität. Für zwei fixe Mannigfaltigkeiten betrachten wir die Menge aller Abbildungen, die eine Mannigfaltigkeit in die andere abbilden. Auf dieser Menge induzieren die Automorphismen der Mannigfaltigkeiten eine Gruppenaktion. Wir sagen, dass eine Abbildung lokal rigide ist, wenn in der Menge aller Abbildungen - in der Nähe der Abbildung - es nur Abbildungen gibt, die gleich der Zusammensetzung der ursprünglichen Abbildung mit entsprechenden Automorphismen sind. Es ist bekannt, dass sich unter restriktiven Nichtdegeneriertheits-Bedingungen für die Menge der Abbildungen die lokale Rigidität zeigen lässt. Unser Ziel ist es neue hinreichende und notwendige Bedingungen für lokale Rigidität zu geben. Es stellt sich heraus, dass die Eigenschaften der Gruppenaktion der Automorphismen auf den Abbildungen eine sehr wichtige Rolle spielen, welche wir ebenso im Rahmen dieses Projektes studieren. Ein weiteres Thema ist das Studium der globalen Rigidität von Abbildungen von Sphären in unterschiedlichen Dimensionen. Wir wollen die Abbildungen der Sphären in Fällen studieren und klassifizieren, die bis jetzt noch nicht untersucht wurden und wo neue und interessante Phänomene auftreten, so zum Beispiel, dass der Quotientenraum der Abbildungen bezüglich Automorphismen unendlich dimensional ist.

Das Projekt behandelte Fragen aus der CR Geometrie im Bereich von mehreren komplexen Veränderlichen. Es beschäftigte sich mit Abbildungen von reellen Teilmannigfaltigkeiten. Das Studium solcher Objekte hat eine lange Forschungsgeschichte und ist ein aktives und breites Forschungsfeld weltweit. Wir haben uns hauptsächlich mit der Frage der lokalen Rigidität von Abbildungen beschäftigt. Hat man eine Abbildung zwischen zwei Teilmannigfaltigkeiten in komplexen Räumen gegeben, so bildet die Gruppe der Automorphismen der Mannigfaltigkeiten eine Gruppenaktion auf dem Raum der Abbildungen. Eine Abbildung heißt lokal rigide, falls man nahe dieser Abbildung nur Abbildungen aus ihrem Gruppen-Orbit findet. Das Ergebnis unserer Forschungen sind notwendige Bedingungen als auch eine Charakterisierung von lokaler Rigidität. Die notwendigen Bedingungen sind mittels linearer Objekte formuliert, den infinitesimalen Deformationen, die Charakterisierung mit Hilfe von nicht-linearen höheren infinitesimalen Deformationen. Infinitesimale Deformationen sind Vektoren, welche entlang des Bildes zur Ziel-Mannigfaltigkeit tangential sind. Wir haben dazu einerseits die topologischen Eigenschaften der Gruppenaktion untersucht und anderseits die analytische Struktur des Raumes der Abbildungen ausgenutzt. Infinitesimale Deformationen wurden des Weiteren im Rahmen von Abbildungen zwischen Einheitssphären in komplexen Räumen unterschiedlicher Dimension untersucht. Hier konnte eine neue Charakterisierung der homogenen Sphärenabbildung gegeben werden als auch eine Methode zur Berechnung der infinitesimalen Deformationen einer beliebigen nicht-degenerierten Sphärenabbildung. Dafür wurde die sogenannte Reflektionsmatrix verwendet. Es wurde gezeigt, dass mit Hilfe dieser Matrix biholomorphe Invarianten von Abbildungen sehr einfach beschrieben werden können.