Numerische Analyse nichtlineares Filtern mit Levy Rauschen

Einer der wichtigsten Anwendungsbereiche in der Technik nichtlinearen Filterns ist die Ortung, die Navigation, bzw. Tracking. Das Problem bei der Ortung bzw. Positionierung ist, dass man versucht während man sich beweg die eigene Position aus verrauschten Daten zu berechnen. Stellen Sie sich ein Schiff auf seinen Weg durch den Ozean vor. Die Positionierung funktioniert mit GPS Signalen, diese aber können wegen eines schlecht funktionierenden Empfangsgeräts verrauscht sein, oder, aufgrund von Funklöcher unvollständig. Das Schiff hat Kurs auf den Heimathafen, aber aufgrund von Wellen und Strömungen wird das Schiff abgelenkt. Das Problem ist jetzt die Position des Schiffes mittels den vorhandenen Datenmaterial zu berechnen, bzw. da eine genaue Berechnung aufgrund der ungenauen Daten nicht möglich ist, zu schätzen. In der Navigation, sind neben des Ortes auch die Geschwindigkeit, die Beschleunigung, und die Lage wichtig. Hier ist die Aufgabe, automatisch die Route zu Berechnen, bzw. automatisch das Schiff zu seinem Ziel zu navigieren. In Tracking will man die Position eines Objektes basieren auf Messdaten wie Winkel und Abstand bezüglich der eigenen Position berechnen. Das Objekt kann wieder ein Schiff, eine Unterwasserrakete oder eine feindliche Drohne in der Luft sein. Verwendet man billige Sensoren, kann leicht sein dass das Signal von schlechter Qualität ist, bzw. verrauscht ist. Hier ist die Aufgabe eine möglichst genaue Schätzung der Position des Objektes aufgrund der verrauschten Messungen zu berechnen. In nichtlinearen Filtern betrachtet man also zwei Prozesse, einen Signal Prozess, an den man interessiert ist und nicht sieht und einen Prozess, den man beobachten kann und der vom Signal Prozess abhängt. Um Messfehler und/oder zufällige Störungen zu modellieren, enthalten beide Prozesse ein sogenanntes Rauschen, bzw. einen Gauß Prozess. Die Aufgabe in nichtlineares Filtern ist so viel wie möglich über X herauszufinden, wobei man nur Y beobachten kann. Modelliert man ein Erdbeben so hat der zugrundeliegende Prozess Sprünge. Oder, modelliert man das Klima, ist die Zeitskala des Rauschens viel schneller als die Zeitskala der dynamischen Prozesse die das Klima bestimmen. In der Finanzwelt sind Hochfrequenzdaten erfolgreich mit Sprungprozessen modelliert. Mit anderen Worten, es gibt viele Beispiele, wo das Gaußsche Rauschen durch einen Sprungprozess ersetzt wird. Will man jetzt genaue Aussagen über X machen, reichen einen meist theoretische Ergebnisse oft nicht aus. Nichtlineares Filtern anzuwenden bedeutet das Berechnen von Schätzfunktionen auf einem Computer, und dies bedeutet, Durchführung numerischer Simulationen. Hier ist es notwendig, Strategien zu liefern, die Konsistenz und Stabilität zu analysieren und Fehler- abschätzungen zu geben. Das Ziel des Projektes ist es, numerische Verfahren für nichtlineares Filtern mit Sprung Prozessen zu entwerfen, deren Konvergenz zu zeigen und die Fehlerrate zu analysieren.

Einer der wichtigsten Anwendungsbereiche in der Technik nichtlinearen Filterns ist die Ortung, die Navigation und das Tracking. Das Problem bei der Ortung bzw. Positionierung ist, dass man versucht, während man sich bewegt, die eigene Position aus verrauschten Daten zu berechnen. Stellen Sie sich ein Schiff auf seinem Weg durch den Ozean vor. Die Positionierung funktioniert mit GPS-Signalen, diese aber können wegen eines schlecht funktionierenden Empfangsgeräts verrauscht oder aufgrund von Funklöchern unvollständig sein. Das Schiff hat Kurs auf den Heimathafen, aber aufgrund von Wellen und Strömungen wird das Schiff abgelenkt. Das Problem ist jetzt, die Position des Schiffes mittels des vorhandenen Datenmaterials zu berechnen, bzw. da eine genaue Berechnung aufgrund der ungenauen Daten nicht möglich ist, zu schätzen. In der Navigation sind neben dem Ort auch die Geschwindigkeit, die Beschleunigung und die Lage wichtig. Hier ist die Aufgabe, automatisch die Route zu berechnen, bzw. automatisch das Schiff zu seinem Ziel zu navigieren. Im Fall von Tracking will man die Position eines Objektes basierend auf Messdaten wie Winkel und Abstand bezüglich der eigenen Position berechnen. Das Objekt kann wieder ein Schiff, eine Unterwasserrakete oder eine feindliche Drohne in der Luft sein. Verwendet man billige Sensoren, kann es leicht sein, dass das Signal von schlechter Qualität bzw. verrauscht ist. Hier ist die Aufgabe, eine möglichst genaue Schätzung der Position des Objektes aufgrund der verrauschten Messungen zu berechnen. Beim nichtlinearen Filtern betrachtet man also zwei Prozesse, einen Signalprozess X, an den man interessiert ist, aber nicht sieht, und einen Prozess Y, den man beobachten kann und der vom Signalprozess abhängt. Um Messfehler und/oder zufällige Störungen zu modellieren, enthalten beide Prozesse ein so genanntes Rauschen, bzw. einen Gauß-Prozess. Die Aufgabe beim nichtlinearen Filtern ist, so viel wie möglich über X herauszufinden, wobei man nur Y beobachten kann. Modelliert man ein Erdbeben, so hat der zugrunde liegende Prozess Sprünge. Oder, modelliert man das Klima, ist die Zeitskala des Rauschens viel schneller als die Zeitskala der dynamischen Prozesse, die das Klima bestimmen. Das wirkt sich dahingehend aus, dass man das Rauschen als Sprungprozess wahrnimmt. In der Finanzwelt werden Hochfrequenzdaten erfolgreich mit Sprungprozessen modelliert. Mit anderen Worten, es gibt viele Beispiele, wo das Gauß'sche Rauschen durch einen Sprungprozess ersetzt wird. Will man jetzt genaue Aussagen über X machen, reichen theoretische Ergebnisse oft nicht aus. Nichtlineares Filtern anzuwenden bedeutet das Berechnen von Schätzfunktionen auf einem Computer, und dies bedeutet Durchführung numerischer Simulationen. Hier ist es notwendig, Strategien zu liefern, die Konsistenz und Stabilität zu analysieren und Fehler-Abschätzungen zu geben. In diesen Projekt haben wir uns mit numerische Verfahren für nichtlineares Filtern mit Sprungprozessen beschaeftigt, deren Konvergenz untersucht und die Fehlerrate zu analysieren.