Vorzeichenvektoren in der Theorie chemischer Reaktionsnetzwerke

Ein erfolgreicher Abschluss des Projekts wird die Anwendbarkeit der Theorie chemischer Reaktionsnetzwerke (CRNT) auf Netzwerke erweitern, die nicht der klassischen Massenwirkungskinetik (MAK) folgen. Die angestrebten Ergebnisse für dynamische Systeme mit verallgemeinerter Massenwirkungskinetik (GMAK) sind nicht nur unabhängig von den Ratenkonstanten, wie in der klassischen CRNT, sondern auch robust bezüglich der Reaktionsordnungen (ausgedrückt durch Vorzeichenvektoren). Resultate für Netzwerke mit GMAK sind auch für dynamisch äquivalente Netzwerke mit MAK signifikant, auf die sich die klassische CRNT nicht anwenden lässt. Im Hinblick auf verallgemeinerte polynomiale Gleichungen ist das Projekts für die reelle algebraische Geometrie und die algebraische Statistik relevant. Im Hinblick auf praktische Anwendungen trägt es zu Pharmakokinetik und Medikamentenentwicklung bei. Um unsere Ziele zu erreichen, kombinieren wir dynamische Systeme, Graphtheorie, polyhedrale Geometrie und orientierte Matroide auf neue Weise. Um die genannten Bedingungen an Vorzeichenvektoren zu überprüfen, implementieren wir effiziente Algorithmen in Computeralgebrasystemen.

Mit unserem Projekt haben wir eine umfassende Studie chemischer Reaktionsnetzwerke mit verallgemeinerter Massenwirkungskinetik begonnen, insbesondere eine Analyse der daraus resultierenden verallgemeinerten polynomialen dynamischen Systeme. Hintergrund: An grundlegenden zellulären Funktionen wie Signalübertragung, Genregulation und Metabolismus sind zahlreiche molekulare Spezies beteiligt, die über chemische Reaktionen interagieren. Mehr als ein Jahrhundert Biochemie und mehrere Jahrzehnte Molekularbiologie erlauben einen nie dagewesenen Einblick in die Komplexität solcher chemischer Reaktionsnetzwerke in lebenden Zellen. Mathematik hat bei der Bewältigung der Komplexität chemischer Reaktionsnetzwerke eine zentrale Rolle gespielt und ist ein Eckpfeiler der modernen Systembiologie. Zu den gängigen Modellierungsansätzen gehören (deterministische) gewöhnliche Differentialgleichungen und (stochastische) zeitkontinuierliche Markov-Ketten. Im deterministischen Ansatz führt die klassische Annahme von Massenwirkungskinetik zu polynomialen dynamischen Systemen. Alle Modelle hängen von zahlreichen unbekannten Parametern ab, den Ratenkonstanten. Dennoch gibt es große Klassen von Netzwerken, deren qualitative Dynamik robust bezüglich der Modellparameter ist. Insbesondere für "komplex-balanzierte" Massenwirkungssysteme existiert ein eindeutiges, (global) stabiles positives Gleichgewicht, unabhängig von den Ratenkonstanten. Ergebnisse: In unserem Projekt haben wir die Anwendbarkeit der Theorie chemischer Reaktionsnetzwerke (TCRN) auf Netzwerke erweitert, die nicht der Massenwirkungskinetik (MWK) folgen. Unsere Ergebnisse zu dynamischen Systemen, die von Netzwerken mit verallgemeinerter Massenwirkungskinetik (VMWK) herrühren, sind nicht nur unabhängig von den Ratenkonstanten (wie in der klassischen TCRN), sondern auch robust bezüglich der Reaktionsordnungen (mathematisch ausgedrückt durch Vorzeichenvektoren). Via dynamische Äquivalenz sind unsere Ergebnisse zu Netzwerken mit VMWK auch für Netzwerke mit MWK von Bedeutung, für welche die klassische TCRN nicht gilt. Insbesondere haben wir Existenz, Eindeutigkeit und Stabilität positiver komplex-balanzierter Gleichgewichte untersucht und dabei das klassische "Defizienz-Null" Theorem auf verschiedene Arten erweitert. Technisch gesprochen haben wir die Bijektivität verallgemeinerter polynomialer Abbildungen sowie die Injektivität von Klassen von Abbildungen (z.B. monomiale, monotone oder differenzierbare Abbildungen) charakterisiert. Darüber hinaus haben wir Bedingungen angegeben, welche die Parametrisierung aller positiven Gleichgewichte erlauben. Um unsere Ziele zu erreichen, haben wir Methoden der dynamischen Systeme, der Analysis, der Graphentheorie, der polyedrischen Geometrie und der orientierten Matroide auf neuartige Weise kombiniert. Während des gesamten Projekts haben wir effiziente Algorithmen und Software zur Berechnung von Vorzeichenvektoren entwickelt. In Bezug auf verallgemeinerte polynomiale Gleichungen sind die Ergebnisse unseres Projekts für die reelle (positive) algebraische Geometrie relevant. In Bezug auf Vorzeichenvektoren sind sie relevant für Bioinformatik und Bioengineering.