Abzählbare Borelsche Äquivalenzrelationen

Der übliche Begriff von Kardinalität bedingt, dass eine Menge kleiner als eine andere ist, wenn es eine Injektion von der ersteren in die letztere gibt. In den letzten Jahrzehnten ist ein feinerer Begriff von definierbaren Kardinalität aufgekommen, wobei verlangt wird, dass die Injektion geeignet definierbar ist. Insgesamt ist das Ziel dieses Projektes, das Wissen über die Basis der definierbaren Kardinalität Hierarchie zu verbessern. Insbesondere konzentrieren wir uns auf abzählbare Borelsche Äquivalenzrelationen auf polnische Räume, die durch Borelsche Reduzierbarkeit geordnet sind. Eines unserer Hauptinteressen ist, ob die Theorie der Kosten, in erster Linie durch Gaboriau ent- wickelt, auf quasi-invariante Borelsche Wahrscheinlichkeitsmaße erweitert werden kann. Eine solche Erweiterung könnte zu einer starken dynamischen Version der von-Neumann-Vermutung führen, so- wie zu einer starken Verbindung zwischen Maßhyperendlichkeit und Invariantemaßhyperendlichkeit. Letzteres wird zu einer optimalen maßtheoretischen Verstärkung eines Satzes von Conley-Miller über den Punkt in der Borelsche Reduzierbarkeit Hierarchie führen, wobei Borelsche Einbettfähigkeit und Borelsche Reduzierbarkeit nicht zusammenfallen. Ein weiterer Schwerpunkt betrifft die Existenz geeignet mindester und minimaler, unmaßhyper- endlicher, abzählbarer Borelscher Äquivalenzrelationen. Neueste Sätze von Conley-Miller stellen sicher, dass solche Fragen von den Borelschen Wahrscheinlichkeitsmaßen abhängen, die den Ausfall von Hyperendlichkeit bezeugen, für Orbitäquivalenzrelationen, die durch natürlichen Aktionen von li- nearen algebraischen Gruppen definieren sind. Insbesondere wollen wir feststellen, ob die Orbitäqui- valenzrelation durch die induzierte übliche Aktion der speziellen linearen Gruppe von zwei Grad über den ganzen Zahlen auf dem Torus eine minimale unmaßhyperendliche abzählbare Borelsche Äqui- valenzrelation ist. Ein letztes großes Interesse betrifft die Borelsche Kombinatorik, ein Thema, mit Ursprung in der Studie von definierbarer Kardinalität. Es soll der Fokus gelegt werden auf eine Reihe von langjährig offenen Fragen über die Existenz von Färbungen und Abgleichen auf lokal endliche Borelsche Gra- phen im maßtheoretischen Kontext. Dabei ist auch von sehr großem Interesse, ob die zugrunde lie- genden Techniken die Sätze von Conley-Miller über die Basis der Maßreduzierbarkeit Hierarchie ver- stärken können.

Die wichtigsten Ergebnisse des Projekts umfassen: (1) Eine Charakterisierung der Existenz von quasi-invarianten Wahrscheinlichkeitsmaßen eines gegebenen Kozykels. Solche Sätze gehen auf die wegweisende Arbeit von Hopf über nicht singuläre Transformationen in den 1930er Jahren zurück und umfassen Verallgemeinerungen von Nadkarni und Becker-Kechris auf borelsche Automorphismen und Äquivalenzrelationen ungefähr fünfzig Jahre später. Die neue Charakterisierung ist eine wesentliche Verallgemeinerung dieser Sätze, und die zugrunde liegenden Argumente liefern auch einen neuen Beweis für Ditzens einheitlichen ergodischen Zerlegungssatz. (2) Ein Dichotomiesatz, der die Klasse der analytischen Graphen auf hausdorffschen Räumen charakterisiert, die eine borelsche Zweieinfärbung zulassen (gemeinsam mit Carroy, Schrittesser und Vidnynszky). Während es leicht zu erkennen ist, dass ein endlicher Graph genau dann eine Zweieinfärbung zulässt, wenn er keinen ungeraden Zyklus enthält, ist die Existenz definierbaren Zweieinfärbung von unendlichen Graphen weitaus subtiler. Wir haben einen azyklischen zweiregulären borelschen Graphen L auf einem polnischen Raum mit der Eigenschaft erzeugt, dass ein analytischer Graph G auf einem hausdorrfschen Raum genau dann eine borelsche Zweieinfärbung zulässt, wenn es keinen stetigen Homomorphismus von L nach G gibt. Ähnliche Argumente zeigen, dass ein Graph G auf einem analytischen hausdorffschen Raum genau dann eine Zweieinfärbung zulässt, wenn es keinen Homomorphismus von L nach G gibt unter dem Axiom der Bestimmtheit. (3) Eine Reihe von Sätzen zu einer breiten Familie von Rekurrenzeigenschaften (gemeinsam mit Inselmann), deren Höhepunkte Folgendes umfassen: (a) Breite Verallgemeinerungen der Dichotomie von Glimm-Effros, die abzählbare Basen für eine Vielzahl von Rekurrenzeigenschaften ergeben. (b) Die Unmöglichkeit, Rekurrenzeigenschaften zu verwenden, um die Existenz invarianter borelsche Wahrscheinlichkeitsmaße im deskriptivischen Kontext zu charakterisieren. (c) Eine neue Verbindung zwischen den messungstheoretischen und topologischen Begriffen von schwachen mischen. (4) Anwendung eines abzählbardimensionalen Analogons der Dichotomie des offenen Graphen, um eine Reihe von Basissätze zu erhalten (gemeinsam mit Carroy und Soukup), einschließlich Verallgemeinerungen der Charakterisierungen abzählbaren Vereinigungen geschlossenen Mengen von Hurewicz und Kechris-Louveau-Woodin, Lecomte-Zelenys zweidimensionales Analogon davon, die Stärkung des Jayne-Rogers Satzes von analytischen zu separabelen metrischen Räumen unter dem Axiom der Bestimmtheit und Basissätze für borelsche Funktionen und Mengen auf der zweiten Ebene der Hierarchie von Borel. (5) Die Existenz von abzählbaren unendlichen Basen minimaler Gegenbeispiele zu den Verallgemeinerungen des Feldman-Moore Satzes, der Glimm-Effros Dichotomie und des Lusin-Novikov Uniformisierungssatzes aus polnischen Räumen zu ihren Quotienten durch borelsche Äquivalenzrelationen, die Fragen beantworten, die sich aus neueren ergeben Sätzen von Kechris.