Kategoriale Basisloci und Orlovspektren

In diesem Antrag initiieren wir die Theorie der kategorialen Basisloci. Wir legen die Idee folgender Analogien vor: 1) Die Analogie zwischen klassischen linearen Systemen von Divisoren und bestimmten Funktoren einer Kategorie. 2) Die zweite Analogie ist zwischen Basisloci eines linearen Systems und kategoriale Basisloci. Wir entwickeln eine Theorie der kategorialen Multiplikatoridealgarben. Unser Ansatz basiert auf der bahnbrechenden Arbeiten von Seidel, Ein, Lazarsfeld, Mustata, Nakamaye, Popa, Budur. Die Hauptideen des Projektes ist, dass die Lücken in Orlovspektren als Sprungzahlen von Multiplikatoridealgarbe gesehen werden können. Die Verwirklichung dieser Idee wird zur Lösung einiger klassischer Fragen der Algebraischen Geometrie führen.

Das Studium der Geometrie im 20. Jahrhundert war gewidmet und, zum großen Teil, mit erstaunlichem Erfolg zur Klassifizierung und Parametrisierung von geometrischen Objekten. Diese Objekte verschiedener Art waren jedoch einheitlich irgendwie als Mengen von Punkten" angesehen. Auf diesem Weg, die Beziehung zu kategorialen Strukturen wuchs stetig. Mit der Einführung von HMS- homologischer Spiegelsymmetrie durch Kontsevich, eine subtile Veränderung war eingeführt, in der Geometrie" innerhalb einer kategorialen Struktur sichtbar wurde. Und die gleichzeitige Entwicklung der Theorie der höheren Stapel meinte, dass Geometrische Strukturen nicht mehr nur als Menge von Punkten" betrachtet wurden, sondern als Objekte, die eine höhere Struktur einschließen. In Rahmen dieses Projekts haben wir einige neue Strukturen eingeführt und entwickelt und wir haben viele Beispiele studiert: (1) Kategoriale Kaehler-Geometrie. (2) Kategorien mit einer Phasenlücke und Normen auf denen. (3) Topologie auf der Klasse aller Kategorien mit Phasenlücke (4) Große Klasse neuer kategorialer Invarianten, nichtkommutative kurvenzählende Invarianten, wurden eingeführt. Diese Neuheiten eröffnen neue Perspektiven nicht nur in der nichtkommutativen Geometrie, sondern auch neue Verbindungen zu Zahlentheorie, Kombinatorik, klassischer Geometrie. I