Struktur des Anregungsspektrums quantenmechanischer Vielteilchensysteme

Das Hauptaugenmerk dieses Forschungsprojektes ist die mathematische Analyse quantenmechanischer Vielteilchensysteme, insbesondere Quantengase bei niedrigen Temperaturen. Die jüngsten Fortschritte im experimentellen Studium ultrakalter Gase führten zu einem Wiederaufleben des Interesses an diesen Systemen. Diese zeigen eine Vielfalt von quantenmechanischen Phänomenen, beispielsweise Bose-Einstein Kondensation und Superfluidität, was sie sowohl vom physikalischen als auch mathematischen Standpunkt sehr interessant macht. Das Ziel dieses Projekts ist die Entwicklung neuer mathematischer Methoden zur Erforschung komplexer Probleme in quantenmechanischen Vielteilchensystemen. Neue Methoden eröffnen andere Perspektiven und verbessern damit unser Verständnis der physikalischen Systeme. Im Bereich der Mathematischen Physik konnten in den vergangenen Jahren wesentliche Fortschritte im Verständnis vieler interessanter Phänomene in Quantengasen erzielt werden, und es ist das Ziel dieses Projekts, einige der relevanten Fragen weiter zu untersuchen. Die komplexe Natur dieser Probleme erfordert die Entwicklung neuer mathematischer Ideen und Methoden. Von Fortschritten in dieser Richtung lassen sich wertvolle Einsichten in das komplexe Verhalten quantenmechanischer Vielteilchensysteme bei niedrigen Temperaturen erwarten. Der Schwerpunkt dieses Forschungsprojektes ist die Gültigkeit der Bogoliubov- Approximation für das Anregungsspektrum quantenmechanischer Vielteilchen- systeme. Die Gültigkeit dieser Approximation für die Grundzustandsenergie wurde bereits für mehrere Modelle gezeigt, ihre Vorhersagen für das Anregungsspektrum konnten bisher allerdings nur im sogenannten Hartree-Limes verifiziert werden, bei dem man sehr schwache Wechselwirkungen betrachtet, deren Reichweite sich über das ganze System erstreckt. Unter den Fragen, die in diesem Projekt untersucht werden sollen, ist die Ausweitung dieser Resultate auf den physikalischen relevanteren Fall von kurzreichweitigen Wechselwirkungen, auf rotierende Systeme, und auf die Untersuchung der Struktur des Anregungsspektrums im thermodynamischen Grenzwert.

Die Ergebnisse dieses Forschungsprojekts betreffen die mathematisch strenge Analyse von Vielkörpersystemen in der Quantenmechanik. Ein Hauptfokus liegt auf Fragen zur Stabilität von Quantensystemen mit Wechselwirkungen ohne räumliche Ausdehnung. Die Quantenmechanik ermöglicht eine idealisierte Beschreibung von Wechselwirkungen zwischen Teilchen, welche punktartig wirken, d.h., eine verschwindende Reichweite besitzen. Während das Zwei-Körper-Problem für solche Punktwechselwirkungen vollständig verstanden ist, stellt die Frage der Stabilität gegenüber Kollaps bei Systemen mit drei oder mehr Teilchen ein schwieriges und teilweise ungelöstes Problem dar. In diesem Projekt wurde dieses Problem für einen speziellen Fall gelöst, nämlich für ein Gas aus fermionischen Teilchen, welche mit einem andersartigen Teilchen mittlels Punktwechselwirkungen interagieren. Es wurde gezeigt, dass ein solches System unabhängig von der Anzahl der beteiligten Gasteilchen stabil ist, wenn das Verhältnis der Masse des andersartigen Teilchens zu dem der Fermionen größer als ein bestimmter kritischer Wert ist. Stabilität bezieht sich hier auf die Tatsache, dass die Grundzustandsenergie, d.h. die niedrigstmögliche Energie des Systems, von unten begrenzt ist. Als Konsequenz dieser Stabilitätsergebnisse konnten weitere wichtige Eigenschaften solcher Systeme, welche in der Physikliteratur als Tan-Beziehungen bekannt sind und die in Experimenten direkt meßbare physikalische Größen in Beziehung setzen, mathematisch streng hergeleitet werden. Ein zweiter Schwerpunkt dieses Projekts betrifft Bose-Gase und das Phänomen der Bose- Einstein-Kondensation, einem Phasenübergang, der in diesen Systemen auftritt. Bose-Gase und Bose-Einstein-Kondensate sind derzeit von großem Interesse, da solche Systeme experimentell mit kalten atomaren Gasen realisiert werden können. Ein wichtiger theoretischer Beitrag zum Verständnis solch komplizierter Quanten-Vielkörpersysteme ist eine Arbeit von Bogoliubov aus dem Jahre 1947, in der ein Näherungsverfahren eingeführt wird, welches zu konkreten Vorhersagen von physikalischer Relevanz führt, z. B. die Superfluidität solcher Systeme betreffend. Die Untersuchung der Genauigkeit und des Gültigkeitsbereichs der Approximation stellt jedoch ein schwieriges mathematisches Problem dar. Ziel dieses Forschungsprojekts war es, die Gültigkeit der Bogoliubov-Näherung für das Anregungsspektrum und die Dynamik schwach welchselwirkender Bosonen zu untersuchen. Die Ergebnisse dieses Projekts tragen wesentlich zum Verständnis dieser Frage bei. Die Gültigkeit der Bogoliubov-Näherung konnte für die Dynamik von Bose-Einstein-Kondensaten mit schwachen Wechselwirkungen gezeigt werden, und eine Version der Bogoliubov-Theorie bei positiver Temperatur wurde verwendet, um den Effekt schwacher Wechselwirkungen auf die Übergangstemperatur für die Bose-Einstein-Kondensation vorherzusagen.