Analysis von Diffussionsmodellen für Multispecies-Systeme

Viele chemische und biologische Systeme, die aus mehreren Komponenten bestehen, können mittels Kreuz-Diffusions-Gleichungen beschrieben werden. Beispiele sind Diffusionsmodelle in der Populationsdynamik, Reaktions-Diffusions-Modelle in der Chemie, der Ionentransport durch Membranen und Maxwell-Stefan-Systeme für Mehrkomponentenfluide.. Kreuz-Diffusionssysteme bestehen aus nichtlinearen parabolischen Gleichungen in Divergenzform, deren Diffusionsmatrix nicht diagonal ist. Wegen der starken Kopplung können viele Werkzeuge der Theorie partieller Differentialgleichungen, wie Maximumprinzipien und Regularitätstheorie, nicht angewendet werden. Während eine allgemeine lokale Existenztheorie von Ladyzhenskaya, Solonnikov und Uralceva und später von Amann entwickelt wurde, existiert noch keine globale Existenztheorie für schwache Lösungen. Das erste Ziel dieses Projektes ist es, eine Theorie für die globale Wohlgestelltheit für gewisse Kreuz-Diffusionssystemen zu entwickeln und damit kürzlich erzielte Ergebnisse des Antragsteller zu verallgemeinern. Das zweite Ziel ist der Beweis qualitativer Eigenschaften der Lösungen wie Beschränktheit und Langzeitverhalten. Die Innovationen dieses Projektes bestehen in der systematischen Verwendung von Entropiedissipationsmethoden, Beweise der Beschränktheit von Lösungen mittels Entropien (boundedness.by-entropy principle), ein verfeinerter Bakry-Emery-Ansatz und Konzepte der Hypokoerzivität.

Viele Anwendungen in der Physik, Biologie und Chemie beinhalten Systeme für mehrere Spezies oder Komponenten. Auf dem makroskopischen Niveau können diese Systeme durch spezielle partielle Differentialgleichungen, sogenannte Kreuz-Diffusionssysteme, beschrieben werden. Diese Gleichungen erlauben Vorhersagen über das dynamische Verhaltender TeilchendichtenoderchemischenKonzentrationender Mehrkomponentensysteme. Ziel dieses Projektes war es, Kreuz-Diffusionsgleichungen aus den Anwendungen analytisch und numerisch zu untersuchen. Fu r diese Untersuchung wurden folgende Anwendungen genauer analysiert: ein Modell für den Transport von Ionen durch biologische Kana le und Nanoporen; ein Populationsmodell, das die Segregation von Spezies beschreibt; ein Modell zur Beschreibung der Diffusion und chemischen Reaktionen in Flüssigkeitsmischungen; und kinetische Boltzmann- Gleichungen, die Transport und Kollisionen von Teilchen modellieren. Die Hauptergebnisse dieses Projektes sind die Existenz von zeitlich globalen Lösungen, das exponentielle Abklingen der Lösungen gegen den Gleichgewichtszustand und numerische Simulationen mittels Finiten-Volumen- und Finite-Elemente-Verfahren.